Логика предикатов

Логика предикатов раздел классической символической логики, изучающий субъектно-предикатну структуру высказываний, на основании чего определяют значения истинности высказываний; по-другому - это дедуктивная теория, которая моделирует процесс вывода одних высказываний из других, учитывая их структуру. Логику предикатов трактуют как расширение логики высказываний через выявление внутренней структуры высказываний и введение новых терминов и системы аксиом.

Логика предикатов как система создается в соответствии с общими принципами построения формальных систем (см. '1.1). Особенность логики предикатов состоит в том, что она является более сложной и по семантике, и по синтаксисом сравнению с логикой высказываний. Различают семантику и синтаксис логики предикатов.

В семантическом аспекте определяют субъектно-предикатну структуру высказываний на содержательном уровне. Это дает возможность выявить свойства, присущие определенной совокупности эмпирических или абстрактных объектов, и ввести сроки, которые отделяют сферу действия предикатов, - высказывания, свойство, отношение, предикат, одноместный предикат, многоместный предикат, квантор общности, квантор существования, істиннісне значение высказывания.

Высказыванию, в котором эмпирическом или абстрактному объекту приписывают свойство Р или определяются отношения между объектами, придают два значения истинности: "истина"; "ложь" (х). Соответственно, логика предикатов - двузначная по количеству значений истинности высказываний.

В синтаксическом аспекте субъектно-предикатну структуру высказываний определяют в процессе абстрагирования от их содержания и формализуют средствами искусственно созданного языка, на основании чего осуществляют логические операции над символами, изображающими эти отношения (исчисления предикатов).

Структура логики предикатов (ЛП) - алфавит, правила построения формул из символов алфавита, правила дедуктивного вывода из аксиом новых формул (доказательства теорем), правила интерпретации.

Язык логики предикатов - это система символов, образующих алфавит. К нему относятся символы, введенные в логике высказываний, и новые символы, которые обозначают термины, введенные в логике предикатов.

Алфавит:

- символы, обозначающие элементарные (простые) высказывания (формулы, формальные выражения) Р, Q;

- символы, которые обозначают істиннісні значения высказываний - "/", V;

- символы, обозначающие предметные (індивідні) переменные х, у, г,... п (множественность предметных переменных может быть безграничной);

- символы, которые обозначают предметные константы (постоянные) - а, в, с, а*,... п;

- символы, обозначающие д-местные предикаты - Р, и?, РҐ Р Р o

- символы, обозначающие предметные функции - Рі9 Р2, Р (верхний индекс обозначает місність предметных функций, а нижний определяет их количество);

- символ, что обозначает терм г;

- символ, который обозначает предикатну переменную X;

- символ, обозначающий отношение предикации <=;

- символ, который обозначает квантор всеобщности V;

- символ, что обозначает квантор существования 3;

- символы, которые обозначают пропозиційні связи (логические союзы, логические постоянные): конъюнкция л, дизъюнкция v, импликация ->, эквивалентность =, возражения ->;

- технические символы: ( - левая скобка; ) - правая скобка.

Определим смысл терминов, создающих специфику логики предикатов, и символически изобразим их искусственным языком.

Терм - любая предметная константа или предметная переменная.

Предикат (предикатор) (лат. - срок, в традиционной логике означает свойство, присущее субъекту 5. Обозначают символом Р. Связь субъекта с предикатом выражается формулой 5 Г.

В логике предикатов срок "предикат" двоякий по смыслу: 1. Свойство. 2. Отношения.

1. Свойство (качество, признак, характерная черта, атрибут) - все, что присуще предметам, явлениям, процессам объективного мира, событиям и происходит в мире как их сущностная и специфическая особенность. Обозначают термином "одноместный предикат".

Одноместный предикат - логическая функция высказывания, выражающая свойство. Отношение между объектом и его свойствами называют отношением предикации, которое определяют через понятие "одноместная о позиций функция", "одноместный предикат". На языке логики предикатов это означает установление отношения между термином, обозначающим эмпирический объект, и термином, обозначающим абстрактный объект, который выражает свойство Р, присущую эмпирическому объекту. Термин "эмпирический объект" определяют как предметный (індивідний) концепт, термин "абстрактный объект" - как предикатное концепт, а отношения между ними - как двухместное отношение в структуре определенного высказывания. Формальный выражение такого отношения "х <= X", где "я" - предметная переменная для терминов, обозначающих эмпирический объект; "X" - предикатна переменная для терминов, обозначающих абстрактный объект; <= - знак предикации. Пример такого двухместного отношения - высказывания "Украина является республикой", где "Украина" - термин, обозначающий эмпирический объект, то есть Украинское государство, а "республика" - - термин, обозначающий абстрактный объект, то есть свойство, присущее Украинскому государству - "быть республикой" (по форме государственного правления). Последовательная формализация этого высказывания на языке логики предикатов такая: - Р,(х) - одноместная пропозиційна функция; х <=. Р(Х), где "ох" - символ для обозначения предметного (индивидного) концепта "Украина" (Украинская держава); <= - знак предикации; Р{Х) - символ для обозначения основного концепта (свойства) "республика".

Отношение (лат. relatio - отношение) - соотнесение; взаимозависимость двух и более предметов в их взаимосвязи; отношение между двумя и более предметами (объектами соображений. Обозначается термином "многоместный предикат" (л-мисс-ный предикат).

Многоместный предикат - логическая функция высказывания, выражающий отношение между двумя и более эмпирическими или отвлеченными объектами.

Для определения отношений вводят непустой класс или множество М, в пределах которой задают отношение R между ее элементами. В зависимости от обособленной множества М отношение R выражают словами "равенство", "неравенства", "подобие", "дружба", "любовь", "родня", "современник" и т.д. Различают бинарное, тернарне и другие виды отношений.

Бинарное отношение - множество М, элементами которого являются упорядоченные пары (х, у), которые указывают на отношение между двумя предметами, связанными этим отношением. Символически Их, в). Например, в системе отношений между натуральными числами бинарные отношения выражают словами "равенства", "больше", "меньше", "делится" и проч.("Число 5 меньше числа 9"). В системе отношений между родственниками бинарные отношения выражаются словами "мать", "отец", "сын", "брат" и др. ("Павел - брат Петра", "Игорь - сын Василия"). В системе правоотношений, которые регулируются, скажем, Гражданским кодексом, используют слова, "истец", "ответчик" и проч. ("Лицо х истец лица в").

Регулярное выражение таких высказываний - xRy, где х, у - предметы, о которых идет речь в рассуждениях, а/2 - символ, обозначающий отношение (чит.: х находится в отношении R к у).

Высказывания, которое содержит бинарное отношение (е = 2-мес-ный предикат), обладает свойствами рефлексивности, нерефлексивності, симметричности, несимметричности, транзитивності, эквивалентности.

Свойство рефлексивности - такое свойство отношение R между предметами х и у в множестве М, когда каждый из них находится в отношении R к самому себе. Формально: хВу -> -> ((xRx) А (yRy))где t -> - символ следования (импликации); л - символ конъюнкции.

Свойство рефлексивности присуща отношению равенства (например, для множества предметов определенного вида каждый предмет равен самому себе), конгруэнтности (для множества геометрических фигур) и др.

Свойство нерефлексивності - такое свойство отношение R между предметами х и у, для множества М, когда каждому из них не свойственно находиться в отношении к самому себе. Формально: xRy -> ((-> хЯ*) л (-o yRy)).

Свойство нерефлексивності присуща отношению "быть элементом множества", "неровности", "быть причиной" (х не может быть причиной самой себя) и др.

Свойство симметричности - такое свойство отношение R между предметами х и у множества А/, когда наличие отношения xRy предопределяет отношение yRx. Формально: (xRy) -> ~> №х).

Свойство симметричности присуща отношению равенства, сходства, родства, дружбы и т.п. Например: Если "я - брат у, то у - брат х".

Свойство антисиметричності (несимметричности) - такое свойство отношение R между предметами х и в множестве М, когда наличие отношения xRy не предопределяет обратного отношения уВх. Формально: (хЯу) -" -> (xRy) А -* (уЯх).

Свойство антисиметричності (несимметричности) присуща отношению, что выражают словами ", "меньше", "лучше", "быть причиной", "быть мотивом" и др. Например: "х - причина действия" (если х причина у9 то в не может быть причиной х); "х - мотив действия" ("Зависть - мотив совершения преступления лицом И/").

Свойство транзитивності (лат. - переход) такое свойство отношения R между х, у, г для множества М, когда из того, что х находится в отношении Я с у, а у - в отношении Я с 2, то следует, что х находится в отношении R с г.

Формально: ((xRy) л (yRz)) -> (xRz), где л - символ конъюнкции, -> - символ следования.

Свойство транзитивності присуща отношением R, что выражают словами "равенство", "подобие", "параллельность" и проч. Например, если * ровное и/, а в ровно г, то х равное z.

Если бинарное отношение одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивності, то оно приобретает свойства эквивалентности (лат. aequalis - равный, valentis - имеющий; равнозначность, равносильность).

Свойство эквивалентности присуща отношению R и выражается словами "равенство", "подобие", "конгруэнтность", "быть ровесниками", "быть одновременно современниками события П" и др.

Тернарне отношение - множественная М, элементами которого являются упорядоченные тройки (х, у, z), выражающие отношение между тремя предметами, связанными между собой системой отношений. Определяют как трехместный предикат (п = 3), имеет символический выражение R(x, у, z).

Тернарні отношение выражают словами "находится между", "находится дальше от... чем"; "быть ближе... чем" и др. Например: "Земля находится между Венерой и Марсом", "Планета Марс находится дальше от Солнца, чем планета Земля".

Определение сферы действия предиката определяют квантором.

Квантор (от лат. quantum - сколько, количество) - слово, которое называет, в каком количестве предметов из определенного класса (множественности), или класса в целом присуще свойство Р. Естественном языке квантор выражают словами "все", "каждый", "для всех, за исключением", "некоторые", "только один", "существует".

В логике предикатов для символического обозначения операции преобразования пропозиційної функции или предикатної формулы на высказывания выделяют квантор всеобщности и квантор существования.

Квантор всеобщности обозначает высказывание, в котором свойство Г приписывают определенном непорожньому класса в целом, что означает: для всех элементов класса А обладает свойством Р. Этот квантор имеет выражение "для всех" ("все", "каждый", "любой", "не был"). Его обозначают символом V (перевернутая первая буква немецкого слова Alle - все), а полная формула - VxP(x) (чит.: каждому х присуще свойство Р). Так, высказывание "Для всех индивидов класса людей присуще свойство "быть смертными" ("Все люди смертны") изображают формулой Vx Р(х).

Квантор существования обозначает высказывание о некоторый непустой класс, в котором свойство Г присуща лишь некоторым элементам этого класса, т.е. существуют элементы класса А, которым присуще свойство Р.

Квантор существования имеет выражение "существует" ("некоторые", "только один"). Его обозначают символом 3 (перевернутая первая буква латинского слова existentia - существование), а полная формула - Зап Г(х) (чит.: "существует", которое обладает свойством Р). Например, высказывание "Существуют люди, которым свойственно писать стихи" ("Некоторые люди пишут стихи") изображают формулой Зап Р(х).

Кванторы всеобщности и существования взаимосвязаны, поэтому все логические операции осуществляют с определением логических отношений над ними.

На основании установления терминов, выделяют специфику логики предикатов и символов алфавита, создают формулы логики предикатов.

Построение формул логики предикатов:

1. Если F и Q - формулы, то -" F; (F а Q); (F V Q); (F -> Q); (F = Q) - формулы.

2. Каждый д-местный предикатное символ Рл задает формулу одного из видов.

3. Р(х) - формула, выражающая свойство (одноместный предикат).

4. R(x, у) - формула, которая выражает двухместный предикат.

5. R(x, у, г) - формула, выражающая трехместный предикат.

6. Если Р - формула и х - предметная переменная, то V* Р(х) и ЗхР(х) являются формулами.

7. V* Р(х) - формула, которая выражает сферу действия квантора всеобщности.

8. Зап Р(х) - формула, выражающая сферу действия квантора существования.

Никаких других формул в логике предикатов нет. Формулы вида Р, F, Q - простые (элементарные), а формулы вида V* Р(х), Vx Р(х, yt z), V* Зу (Р(х, у) - сложные.

Далее строят формулы, определяющие сферу действия квантора.

Сфера действия квантора (ОДК) означает выражение, к которому принадлежит квантор. ОГК ограничивают скобками слева и справа от выражения. Левая скобка означает начало сферы действия, а правая скобка - окончание. В рамках ОДК выделяют связанную и свободную переменные. Переменную, которая следует непосредственно после квантора, называют підкванторною переменной, а формула, к которой принадлежит квантор, - підкванторною формуле, или областью действия квантора. Связанная переменная - переменная, которая входит в сферу действия квантификаторы всеобщности V или существования Из или обоих сразу. Например, в формулах VxP(x), ЗхР(х) связанной переменной х.

Свободная переменная входит в формулы, но не входит в сферу действия квантификаторы всеобщности V или существование 3 в отличие от связанной переменной. Так, в формуле Vx(P(x)) -> Q(x) - переменная х связана так же, как в формуле Vx(P(x)), но свободная в выражении Q{x).

В логике предикатов квантор всеобщности трактуют как обобщение конъюнкции, а квантор существования - как обобщение дизъюнкции, если множественность М значений переменной х является конечной, то есть она состоит из конечной количества предметов. Например, М = (xlt xi¿, х3, х4) записывают: 1)как конъюнкцию единичных высказываний Р(хх) а Г(хг) лР(х3) а Р(х4), что означает: формула вида Vx(P(x)) эквивалентна формуле P(xt) лР(х2) а Р(х3) а Р(х4); 2) как дизъюнкцию единичных высказываний Р(х,) v Р(х2) v Р(х9) v Р(х4), что означает: формула вида Зх(Р(х)) - эквивалентна формуле Р(х,) v Р(х2) V Р(х3) V Р(х ).

Если множественность М значений переменной х является бесконечной М = (Xj, х2, х3,... хп)в то кванторы всеобщности и существования выполняют роль "бесконечно" кон'юнкцій P(xt) а Р(х2) а Р(х3) а а Р(хн) а... или "бесконечно" диз'юнкцій Р(х,) V Р(х2) V V Р(х8) V Р(хя) V...

Квантификация (от лат. quantum - сколько; facio - делаю) - определение объема субъекта и предиката в структуре высказывания с помощью кванторних сроков - "все" ("любой", "каждый") и "некоторые"; логическая операция, с помощью которой определяют сферу действия квантификаторы. Это переход от формулы вида Р(х) в формулу вида Vx(P(x)) или Зх(Р(х)), в результате чего переменная х в формуле Р(х) перестает быть просто символом, а выражает определенное свойство, присущее классу А. Переменную х в формуле Р(х) называют свободной переменной, а после квантификации - связанной переменной, т.е. в формулах Vx(P(x)) и Зх(Р(х)) переменная х становится связанной.

Квантификация высказываний, содержащих отношение (/и-мес-ни предикаты), приобретают такой вид: Р(х, у) - двухместный предикат, определенный на множестве М.

Квантор всеобщности и квантор существования можно использовать и для переменной ху и для переменной. Переменная, к которой использован квантор, становится связанной, а вторая переменная - свободной.

С помощью квантификации (использование квантора для одной из переменных) двухместный предикат можно превратить в одноместный, а двухместный - в двухместный и т.п.

Значение истинности высказываний с кванторами всеобщности и существования.

Логика предикатов является двусмысленной по количеству значений истинности, поэтому высказывания с кванторами всеобщности и существования придают два значения истинности - "и", "х".

Для определения истинности высказывания с кванторами всеобщности или существования задают множество М с определенным количеством элементов, для которых предикат является истинным. Значение истинности определяют с помощью таблицы истинности.

Таблица истинности для множества М с конечной количеством элементов с двухместным предикатом (х, у)'. М = (х., х2, х3, х4)

На основании таблицы истинности определяют:

1. Предикат от х для формулы Vi/Г(х, у) имеет значение "ложь".

2. Предикат от в для формулы VxP(x, у) имеет два значения "истина" и два значения "ложь".

3. Предикат от х для формулы ЗуР(х, у) имеет значение "истина".

4. Предикат от в для формулы ЗхР(х, у) имеет три значения "истина".

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >