Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow Логика

Логика предикатов

Логика предикатов раздел классической символической логики, изучающий субъектно-предикатну структуру высказываний, на основании чего определяют значения истинности высказываний; по-другому - это дедуктивная теория, которая моделирует процесс вывода одних высказываний из других, учитывая их структуру. Логику предикатов трактуют как расширение логики высказываний через выявление внутренней структуры высказываний и введение новых терминов и системы аксиом.

Логика предикатов как система создается в соответствии с общими принципами построения формальных систем (см. '1.1). Особенность логики предикатов состоит в том, что она является более сложной и по семантике, и по синтаксисом сравнению с логикой высказываний. Различают семантику и синтаксис логики предикатов.

В семантическом аспекте определяют субъектно-предикатну структуру высказываний на содержательном уровне. Это дает возможность выявить свойства, присущие определенной совокупности эмпирических или абстрактных объектов, и ввести сроки, которые отделяют сферу действия предикатов, - высказывания, свойство, отношение, предикат, одноместный предикат, многоместный предикат, квантор общности, квантор существования, істиннісне значение высказывания.

Высказыванию, в котором эмпирическом или абстрактному объекту приписывают свойство Р или определяются отношения между объектами, придают два значения истинности: "истина"; "ложь" (х). Соответственно, логика предикатов - двузначная по количеству значений истинности высказываний.

В синтаксическом аспекте субъектно-предикатну структуру высказываний определяют в процессе абстрагирования от их содержания и формализуют средствами искусственно созданного языка, на основании чего осуществляют логические операции над символами, изображающими эти отношения (исчисления предикатов).

Структура логики предикатов (ЛП) - алфавит, правила построения формул из символов алфавита, правила дедуктивного вывода из аксиом новых формул (доказательства теорем), правила интерпретации.

Язык логики предикатов - это система символов, образующих алфавит. К нему относятся символы, введенные в логике высказываний, и новые символы, которые обозначают термины, введенные в логике предикатов.

Алфавит:

- символы, обозначающие элементарные (простые) высказывания (формулы, формальные выражения) Р, Q;

- символы, которые обозначают істиннісні значения высказываний - "/", V;

- символы, обозначающие предметные (індивідні) переменные х, у, г,... п (множественность предметных переменных может быть безграничной);

- символы, которые обозначают предметные константы (постоянные) - а, в, с, а*,... п;

- символы, обозначающие д-местные предикаты - Р, и?, РҐ Р Р o

- символы, обозначающие предметные функции - Рі9 Р2, Р (верхний индекс обозначает місність предметных функций, а нижний определяет их количество);

- символ, что обозначает терм г;

- символ, который обозначает предикатну переменную X;

- символ, обозначающий отношение предикации <=;

- символ, который обозначает квантор всеобщности V;

- символ, что обозначает квантор существования 3;

- символы, которые обозначают пропозиційні связи (логические союзы, логические постоянные): конъюнкция л, дизъюнкция v, импликация ->, эквивалентность =, возражения ->;

- технические символы: ( - левая скобка; ) - правая скобка.

Определим смысл терминов, создающих специфику логики предикатов, и символически изобразим их искусственным языком.

Терм - любая предметная константа или предметная переменная.

Предикат (предикатор) (лат. - срок, в традиционной логике означает свойство, присущее субъекту 5. Обозначают символом Р. Связь субъекта с предикатом выражается формулой 5 Г.

В логике предикатов срок "предикат" двоякий по смыслу: 1. Свойство. 2. Отношения.

1. Свойство (качество, признак, характерная черта, атрибут) - все, что присуще предметам, явлениям, процессам объективного мира, событиям и происходит в мире как их сущностная и специфическая особенность. Обозначают термином "одноместный предикат".

Одноместный предикат - логическая функция высказывания, выражающая свойство. Отношение между объектом и его свойствами называют отношением предикации, которое определяют через понятие "одноместная о позиций функция", "одноместный предикат". На языке логики предикатов это означает установление отношения между термином, обозначающим эмпирический объект, и термином, обозначающим абстрактный объект, который выражает свойство Р, присущую эмпирическому объекту. Термин "эмпирический объект" определяют как предметный (індивідний) концепт, термин "абстрактный объект" - как предикатное концепт, а отношения между ними - как двухместное отношение в структуре определенного высказывания. Формальный выражение такого отношения "х <= X", где "я" - предметная переменная для терминов, обозначающих эмпирический объект; "X" - предикатна переменная для терминов, обозначающих абстрактный объект; <= - знак предикации. Пример такого двухместного отношения - высказывания "Украина является республикой", где "Украина" - термин, обозначающий эмпирический объект, то есть Украинское государство, а "республика" - - термин, обозначающий абстрактный объект, то есть свойство, присущее Украинскому государству - "быть республикой" (по форме государственного правления). Последовательная формализация этого высказывания на языке логики предикатов такая: - Р,(х) - одноместная пропозиційна функция; х <=. Р(Х), где "ох" - символ для обозначения предметного (индивидного) концепта "Украина" (Украинская держава); <= - знак предикации; Р{Х) - символ для обозначения основного концепта (свойства) "республика".

Отношение (лат. relatio - отношение) - соотнесение; взаимозависимость двух и более предметов в их взаимосвязи; отношение между двумя и более предметами (объектами соображений. Обозначается термином "многоместный предикат" (л-мисс-ный предикат).

Многоместный предикат - логическая функция высказывания, выражающий отношение между двумя и более эмпирическими или отвлеченными объектами.

Для определения отношений вводят непустой класс или множество М, в пределах которой задают отношение R между ее элементами. В зависимости от обособленной множества М отношение R выражают словами "равенство", "неравенства", "подобие", "дружба", "любовь", "родня", "современник" и т.д. Различают бинарное, тернарне и другие виды отношений.

Бинарное отношение - множество М, элементами которого являются упорядоченные пары (х, у), которые указывают на отношение между двумя предметами, связанными этим отношением. Символически Их, в). Например, в системе отношений между натуральными числами бинарные отношения выражают словами "равенства", "больше", "меньше", "делится" и проч.("Число 5 меньше числа 9"). В системе отношений между родственниками бинарные отношения выражаются словами "мать", "отец", "сын", "брат" и др. ("Павел - брат Петра", "Игорь - сын Василия"). В системе правоотношений, которые регулируются, скажем, Гражданским кодексом, используют слова, "истец", "ответчик" и проч. ("Лицо х истец лица в").

Регулярное выражение таких высказываний - xRy, где х, у - предметы, о которых идет речь в рассуждениях, а/2 - символ, обозначающий отношение (чит.: х находится в отношении R к у).

Высказывания, которое содержит бинарное отношение (е = 2-мес-ный предикат), обладает свойствами рефлексивности, нерефлексивності, симметричности, несимметричности, транзитивності, эквивалентности.

Свойство рефлексивности - такое свойство отношение R между предметами х и у в множестве М, когда каждый из них находится в отношении R к самому себе. Формально: хВу -> -> ((xRx) А (yRy))где t -> - символ следования (импликации); л - символ конъюнкции.

Свойство рефлексивности присуща отношению равенства (например, для множества предметов определенного вида каждый предмет равен самому себе), конгруэнтности (для множества геометрических фигур) и др.

Свойство нерефлексивності - такое свойство отношение R между предметами х и у, для множества М, когда каждому из них не свойственно находиться в отношении к самому себе. Формально: xRy -> ((-> хЯ*) л (-o yRy)).

Свойство нерефлексивності присуща отношению "быть элементом множества", "неровности", "быть причиной" (х не может быть причиной самой себя) и др.

Свойство симметричности - такое свойство отношение R между предметами х и у множества А/, когда наличие отношения xRy предопределяет отношение yRx. Формально: (xRy) -> ~> №х).

Свойство симметричности присуща отношению равенства, сходства, родства, дружбы и т.п. Например: Если "я - брат у, то у - брат х".

Свойство антисиметричності (несимметричности) - такое свойство отношение R между предметами х и в множестве М, когда наличие отношения xRy не предопределяет обратного отношения уВх. Формально: (хЯу) -" -> (xRy) А -* (уЯх).

Свойство антисиметричності (несимметричности) присуща отношению, что выражают словами ", "меньше", "лучше", "быть причиной", "быть мотивом" и др. Например: "х - причина действия" (если х причина у9 то в не может быть причиной х); "х - мотив действия" ("Зависть - мотив совершения преступления лицом И/").

Свойство транзитивності (лат. - переход) такое свойство отношения R между х, у, г для множества М, когда из того, что х находится в отношении Я с у, а у - в отношении Я с 2, то следует, что х находится в отношении R с г.

Формально: ((xRy) л (yRz)) -> (xRz), где л - символ конъюнкции, -> - символ следования.

Свойство транзитивності присуща отношением R, что выражают словами "равенство", "подобие", "параллельность" и проч. Например, если * ровное и/, а в ровно г, то х равное z.

Если бинарное отношение одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивності, то оно приобретает свойства эквивалентности (лат. aequalis - равный, valentis - имеющий; равнозначность, равносильность).

Свойство эквивалентности присуща отношению R и выражается словами "равенство", "подобие", "конгруэнтность", "быть ровесниками", "быть одновременно современниками события П" и др.

Тернарне отношение - множественная М, элементами которого являются упорядоченные тройки (х, у, z), выражающие отношение между тремя предметами, связанными между собой системой отношений. Определяют как трехместный предикат (п = 3), имеет символический выражение R(x, у, z).

Тернарні отношение выражают словами "находится между", "находится дальше от... чем"; "быть ближе... чем" и др. Например: "Земля находится между Венерой и Марсом", "Планета Марс находится дальше от Солнца, чем планета Земля".

Определение сферы действия предиката определяют квантором.

Квантор (от лат. quantum - сколько, количество) - слово, которое называет, в каком количестве предметов из определенного класса (множественности), или класса в целом присуще свойство Р. Естественном языке квантор выражают словами "все", "каждый", "для всех, за исключением", "некоторые", "только один", "существует".

В логике предикатов для символического обозначения операции преобразования пропозиційної функции или предикатної формулы на высказывания выделяют квантор всеобщности и квантор существования.

Квантор всеобщности обозначает высказывание, в котором свойство Г приписывают определенном непорожньому класса в целом, что означает: для всех элементов класса А обладает свойством Р. Этот квантор имеет выражение "для всех" ("все", "каждый", "любой", "не был"). Его обозначают символом V (перевернутая первая буква немецкого слова Alle - все), а полная формула - VxP(x) (чит.: каждому х присуще свойство Р). Так, высказывание "Для всех индивидов класса людей присуще свойство "быть смертными" ("Все люди смертны") изображают формулой Vx Р(х).

Квантор существования обозначает высказывание о некоторый непустой класс, в котором свойство Г присуща лишь некоторым элементам этого класса, т.е. существуют элементы класса А, которым присуще свойство Р.

Квантор существования имеет выражение "существует" ("некоторые", "только один"). Его обозначают символом 3 (перевернутая первая буква латинского слова existentia - существование), а полная формула - Зап Г(х) (чит.: "существует", которое обладает свойством Р). Например, высказывание "Существуют люди, которым свойственно писать стихи" ("Некоторые люди пишут стихи") изображают формулой Зап Р(х).

Кванторы всеобщности и существования взаимосвязаны, поэтому все логические операции осуществляют с определением логических отношений над ними.

На основании установления терминов, выделяют специфику логики предикатов и символов алфавита, создают формулы логики предикатов.

Построение формул логики предикатов:

1. Если F и Q - формулы, то -" F; (F а Q); (F V Q); (F -> Q); (F = Q) - формулы.

2. Каждый д-местный предикатное символ Рл задает формулу одного из видов.

3. Р(х) - формула, выражающая свойство (одноместный предикат).

4. R(x, у) - формула, которая выражает двухместный предикат.

5. R(x, у, г) - формула, выражающая трехместный предикат.

6. Если Р - формула и х - предметная переменная, то V* Р(х) и ЗхР(х) являются формулами.

7. V* Р(х) - формула, которая выражает сферу действия квантора всеобщности.

8. Зап Р(х) - формула, выражающая сферу действия квантора существования.

Никаких других формул в логике предикатов нет. Формулы вида Р, F, Q - простые (элементарные), а формулы вида V* Р(х), Vx Р(х, yt z), V* Зу (Р(х, у) - сложные.

Далее строят формулы, определяющие сферу действия квантора.

Сфера действия квантора (ОДК) означает выражение, к которому принадлежит квантор. ОГК ограничивают скобками слева и справа от выражения. Левая скобка означает начало сферы действия, а правая скобка - окончание. В рамках ОДК выделяют связанную и свободную переменные. Переменную, которая следует непосредственно после квантора, называют підкванторною переменной, а формула, к которой принадлежит квантор, - підкванторною формуле, или областью действия квантора. Связанная переменная - переменная, которая входит в сферу действия квантификаторы всеобщности V или существования Из или обоих сразу. Например, в формулах VxP(x), ЗхР(х) связанной переменной х.

Свободная переменная входит в формулы, но не входит в сферу действия квантификаторы всеобщности V или существование 3 в отличие от связанной переменной. Так, в формуле Vx(P(x)) -> Q(x) - переменная х связана так же, как в формуле Vx(P(x)), но свободная в выражении Q{x).

В логике предикатов квантор всеобщности трактуют как обобщение конъюнкции, а квантор существования - как обобщение дизъюнкции, если множественность М значений переменной х является конечной, то есть она состоит из конечной количества предметов. Например, М = (xlt xi¿, х3, х4) записывают: 1)как конъюнкцию единичных высказываний Р(хх) а Г(хг) лР(х3) а Р(х4), что означает: формула вида Vx(P(x)) эквивалентна формуле P(xt) лР(х2) а Р(х3) а Р(х4); 2) как дизъюнкцию единичных высказываний Р(х,) v Р(х2) v Р(х9) v Р(х4), что означает: формула вида Зх(Р(х)) - эквивалентна формуле Р(х,) v Р(х2) V Р(х3) V Р(х ).

Если множественность М значений переменной х является бесконечной М = (Xj, х2, х3,... хп)в то кванторы всеобщности и существования выполняют роль "бесконечно" кон'юнкцій P(xt) а Р(х2) а Р(х3) а а Р(хн) а... или "бесконечно" диз'юнкцій Р(х,) V Р(х2) V V Р(х8) V Р(хя) V...

Квантификация (от лат. quantum - сколько; facio - делаю) - определение объема субъекта и предиката в структуре высказывания с помощью кванторних сроков - "все" ("любой", "каждый") и "некоторые"; логическая операция, с помощью которой определяют сферу действия квантификаторы. Это переход от формулы вида Р(х) в формулу вида Vx(P(x)) или Зх(Р(х)), в результате чего переменная х в формуле Р(х) перестает быть просто символом, а выражает определенное свойство, присущее классу А. Переменную х в формуле Р(х) называют свободной переменной, а после квантификации - связанной переменной, т.е. в формулах Vx(P(x)) и Зх(Р(х)) переменная х становится связанной.

Квантификация высказываний, содержащих отношение (/и-мес-ни предикаты), приобретают такой вид: Р(х, у) - двухместный предикат, определенный на множестве М.

Квантор всеобщности и квантор существования можно использовать и для переменной ху и для переменной. Переменная, к которой использован квантор, становится связанной, а вторая переменная - свободной.

С помощью квантификации (использование квантора для одной из переменных) двухместный предикат можно превратить в одноместный, а двухместный - в двухместный и т.п.

Значение истинности высказываний с кванторами всеобщности и существования.

Логика предикатов является двусмысленной по количеству значений истинности, поэтому высказывания с кванторами всеобщности и существования придают два значения истинности - "и", "х".

Для определения истинности высказывания с кванторами всеобщности или существования задают множество М с определенным количеством элементов, для которых предикат является истинным. Значение истинности определяют с помощью таблицы истинности.

Таблица истинности для множества М с конечной количеством элементов с двухместным предикатом (х, у)'. М = (х., х2, х3, х4)

На основании таблицы истинности определяют:

1. Предикат от х для формулы Vi/Г(х, у) имеет значение "ложь".

2. Предикат от в для формулы VxP(x, у) имеет два значения "истина" и два значения "ложь".

3. Предикат от х для формулы ЗуР(х, у) имеет значение "истина".

4. Предикат от в для формулы ЗхР(х, у) имеет три значения "истина".

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее