Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow Логика

Равносильные формулы логики предикатов

После квантификации, т.е. использование квантора всеобщности или существования к свободной переменной одноместного или /и-местного предиката, можно получить различные формулы. Например, V* VyP(x, у); /в VxP(x, у); Зап VyP(x, у); /х ЗхР(х, у); Зап 3yP(xt у).

Формулы, которые содержат одинаковые кванторы, называют равносильными, или эквивалентными. Они имеют такой вид:

Vx VyP(x, у) = VxP(xf у) (формулы вида Vx УуР(х, у) и вида /в УхР(х, у) истинно тогда и только тогда, когда Р(х, у) - тождественно истинный предикат);

Зап 3yP(xt у) = Зу ЗхР(х, у) (формулы вида Зап 3yP(xt у) и вида Зу 3xP(xt у) истинны только тогда, когда Р(х, у) является тождественно-истинным предикатом).

Отрицание высказываний с кванторами

Возражения в символической логике - логическая операция, выраженная с помощью союза "неправильно". Например, отрицанием высказывания "Все студенты изучают математику" будет высказывание "Неверно, что все студенты изучают математику".

Отрицание высказывания с кванторами всеобщности формально выражается: -" VxP(x), с квантором существования так: - 3xF(x).

оспаривающее его высказывания с квантором всеобщности -" VxP(x) имеет то же значение истинности, что и высказывания с квантором существования, с отрицанием высказывания Зап -* F(x), а отрицания высказывания с квантором существования -" 3xF(x) имеет то же значение истинности, что и высказывания с квантором всеобщности с отрицанием высказывания Vx -" Р(х).

На основании определения взаимозависимости квантификаторы всеобщности и существования с возражениями устанавливают равносильность (эквивалентность) таких формул: VxP(x) = Зх -" Р(х); -> 3xF(x) = Vx - F(x).

Отношение следования в логике предикатов

Между формулами F и Q логики предикатов существует отношение логического следования (F -> Q) тогда и только тогда, когда в процессе определения значений свободных переменных, входящих в структуру формулы "если F - истинно, то Q - истинное", между формулами вида Fr F2,... Fn и формулой вида Q существует отношение логического следования тогда и только тогда, когда при определении значений свободных переменных всех формул и если Fx, F2,... Fn истинно, то Q - истинно.

Законы логики предикатов

Законом логики предикатов называют формулу (регулярное выражение), что за любого подставления значений свободных переменных принимает значение "истина". Такая формула - общезначимая (тождественно-истинна): Vx(P(x) V v - Г(х)).

Законы логики предикатов можно вывести из законов логики высказываний через подстановку вместо пропозиційних переменных предикатов. Возьмем, например, первый закон контра-позиции логики высказываний (А -> В) -> (->- " -" А). Вместо переменной А подставляем предикат Р(х), а вместо переменной В - предикат Q(x). Получаем формулу ((Р(х) ->Q(x)) ->((-" Q(x) -" -> -и Г (х))9 которая является загальнозначущою формуле, то есть законом логики предикатов.

Основным методом для определения, будет ли определенная формула логики предикатов загальнозначущою или законом, является построение аналитической таблицы.

В логике предикатов аналитическая таблица - конечна или бесконечна последовательность n-строк, каждая из которых является конечное число столбцов (строк формул), которые строят из предыдущих по правилам редукции. Столбик, что входит в строку с номером аналитической таблицы, называют замкнутым, если он содержит формулу вида F и ее отрицание. Аналитическая таблица называется замкнутой, если все ее столбцы заперты.

Правила построения аналитической таблицы:

где F(t) - результат замены всех свободных переменных х в F на любой замкнутый терм t.

где Р(Л) - результат замены всех свободных вхождений х в Г на предметную константу к, которая еще не была в таблице.

где Р(£) - результат замены всех свободных вхождений х в Г на предметную константу которая не была в таблице.

где F(t) - результат замены всех свободных вхождений х в F на любой замкнутый терм.

Исчисление предикатов (система вывода формул вида Q из формул вида F по принципу логического следования) - это система символов и правил логического вывода из аксиом произвольных формул с целью их доведения на истинность; осуществление логических операций над одноместными и многоместными предикатами. Различают два вида исчисления предикатов: натуральное и аксиоматическое.

Натуральное исчисление логики предикатов формируется по аналогии с натуральным исчислением логики высказываний, то есть по правилам введения и устранения логических постоянных (см. 4.2.1), но через добавление правил введения и устранения квантификаторы всеобщности и существования (в рекомендованной литературе операции ввода и устранения квантификаторы имеют различное формальное выражение). Приведем формулы, формализующих эти правила.

1. Правило устранение импликации (УИ) (правило модус понненс):

(чит.: из двух формул вида Г, Г -> ф можно получить формулу вида (5).

2. Правило введения квантора всеобщности (ВУ):

(чит.: если х не является свободным в Г, то из формулы вида Р -* ф(я) можно вывести формулу вида Г-ьУуЖу))-

3. Правило устранение квантора всеобщности (УУ):

(чит.: из формулы вида VF(x) -> Q(y) можно вывести формулу вида F(x) -" Q(y)).

4. Правило введения квантора существования (ВЗ):

(чит.: если х не является свободной в Q, то из формулы вида F(x) -" Q можно вывести формулу вида 3yF(y) -► Q)"

5. Правило устранение квантора существования (УЗ):

(чит.: из формулы вида 3F(x) -> Q можно вывести формулу вида F(x) -> Q).

Аксиоматическое исчисление логики предикатов означает построение системы доказательства теорем на основании аксиом по правилам вывода.

Аксиомы логики предикатов (ЛП) дополняют аксиомы логики высказываний (ЛВ) (см. 4.2.1), то есть к ним добавляют новые аксиомы:

На основании аксиом выводят (доказывают) формулы, которые являются теоремами на основании таких правил введения квантификаторы всеобщности V и существования 3:

Формализация простых атрибутивных (категорических) высказываний и простого категорического силогизма в логике предикатов (ЛП).

Атрибутивные (категорические) высказывания и простой категорический силлогизм, которые исследуют в традиционной логике (см. 3.4.2; 3.4.3), формализуются на языке логики предикатов.

И. Формализация четырех видов простых атрибутивных (категорических) высказываний языке ЛП.

1. Загальностверджувальне высказывания (А), формальное выражение которого в традиционной логике "все 5 есть Р" - высказывания, в котором утверждается присущие свойства Г всем предметам определенного класса, В логике предикатов 5 и Р определяют как пропозиційні переменные, вместо которых можно подставить аргументы и придать высказыванию значение истинности или ложности. Например: "Все треугольники являются геометрическими фигурами" (/), "Все имена собственные пишут с большой буквы"; "Все птицы летают" (х), а именно высказывания как высказывания, выражающий одноместный предикат.

Регулярное выражение загальностверджувального высказывания на языке логики предикатов: Ух(Р(х) ->(?(*))" Дв V - символ, что обозначает квантор всеобщности, Г, (? - свойство, х о-позиционная переменная (чит.: для всех х, если присуще свойство Р, то х присуще свойство <?).

2. Загальнозаперечне высказывания (Е), формальное выражение которого в традиционной логике "ни одно 5 не есть Р" - высказывания, в котором отрицается свойство Р у всех предметов определенного класса: "Ни одна собака не является кошкой" (/), "Ни одно живое существо не может жить долго без еды"; "Ни один студент не учится на отлично" (х).

Регулярное выражение загальнозаперечного высказывания на языке логики предикатов: Ух(Р(х) -> - Я(х)) (чит.: для всех х, если х присуще свойство Р, то х не обладает свойством в).

3. Частковостверджувальне высказывания (/), формальное выражение которого в традиционной логике "некоторые 5 есть Р" - высказывания, в котором свойство Р приписывается определенным предметам определенного класса (подкласса класса А). Например: "Некоторые люди являются спортсменами"; "Некоторые люди являются долгожителями" (и).

Регулярное выражение частковостверджувального высказывания на языке логики предикатов Зх(Р(х) Я(х)) (чит.: существует такой предмет х, которому присуще свойство Р и присуще свойство (и), где 3 - символ, что обозначает квантор существования.

4. Частковозаперечне высказывания (О), формальное выражение которого в традиционной логике "некоторые 5 не есть Р" - высказывания, в котором определенное свойство Г отрицается в определенном количестве предметов определенного класса (подкласса класса А): "Некоторые логические теории не являются двузначными по значению истинности"; "Некоторые люди не играют в шахматы" (и).

Регулярное выражение частковозаперечного высказывания на языке логики предикатов ЗхР(х) Л -"Я{х)) (чит.: существует такой предмет х, которому присуще свойство Р и не присуще свойство А).

С помощью правил преобразования квантификаторы, все виды атрибутивных (категорических) высказываний можно изобразить так:

1. Загальностверджувальне высказывания (А):

II. Формализация простого категорического силогизма языке логики предикатов. Первую формализацию простого категорического силогизма совершил Я. Лукасевич.

Формализация простого категорического силогизма означает его формальное изображение языке логики предикатов с целью более точного выведения заключения из предположений. Подаем выведения заключения из оснований по правилам первой фигуры и правильного модуса AAA (модус Barbara). В традиционной логике он имеет вид:

на Языке логики предикатов:

(Vx(M(x) -> Р(х)) а Vx(Q(x) -" М(х))) -> Vx(Q(x)) -*Р(х)) (чит.: если правильно, что для каждого х из М(х) следует Р(х), и если правильно, что для каждого х из Q(x) следует М(х), то для каждого х верно, что Q(x) следует Р(х).Формалізація высказываний на языке логики предикатов и интерпретация формул логики предикатов.

Формализация высказываний с определенным содержанием означает их превращение в язык логики предикатов, а интерпретация логики предикатов - установление сферы действия кванторних выражений вида УхР(х), ЗхР(х), УхР(х, у), УхР{х, у, г)в контексте рассуждений о определенное множество предметов, которым присуще свойство Р и установление определенного вида отношений между предметами, которые относятся к этой множественного числа.

Интерпретация кванторних формул в определенной предметной сфере соображений дает возможность точнее определить количество предметов из определенного множества, которым присуща определенная свойство Р: всем множестве, некоторым предметам, относящихся к этого множества, одному элементу этого множества.

Для этого задается множество соображений (высказываний). В ее рамках высказывания с определенным содержанием может быть формализовано на языке логики предикатов и интерпретирована определенная кванторна формула, то есть превращена в высказывания, которому придают значение истинности.

Последовательность осуществления названных логических операций:

I. Определяют предметную сферу рассуждений, в рамках которой формализуют высказывания и интерпретируют кванторні формулы.

II. Задают точную сферу соображений - класс (множество) М, в пределах которой кванторна формула определяет свойства и отношения.

Например:

- в математике: множество всех натуральных чисел (арифметика); множество всех множеств (теория множеств); множество всех геометрических фигур (геометрия) и т.п.;

- в логике: множество всех логических законов; множество всех высказываний; множество всех формально-логических систем и т.п.;

- в социальном мире: множество всех людей; множество всех политиков, всех юристов, всех ученых, всех студентов и др.;

- в сфере права: множество всех государств; множество всех граждан определенного государства; множество всех субъектов права, социальные действия которых регулируются нормами права; множество всех нормативно-правовых актов, разработанных государством ИУ, и т.д.

III. В точно определенном множестве М чисто абстрактно задают свойства, присущие предметам, которые принадлежат к определенной множества и отношения (бинарные, тернарні и др.) между предметами, которые относятся к этой множества М.

IV. Придают значение истинности высказываний, выражающих свойства или отношения.

Покажем операции формализации высказываний на языке логики предикатов и интерпретации формул логики предикатов. В символической логике - множество всех логических законов.

1. Каждая тождественно-истинная формула является логическим законом в пределах определенной формальной системы. Это означает, что каждой тождественно-истинной формуле присуще свойство "быть логическим законом". Для формализации этого выражения определяем: слово "каждый", что естественным языком выражает квантор всеобщности (V), "логический закон" - одноместный предикат Р(х), "тождественно-истинная формула" (одноместный предикат Я(х) "определенная формальная система" (сфера действия квантора всеобщности (чит.: каждая формула имеет свойство "быть тождественно-истинной формулой", имеет свойство "быть логическим законом" в пределах определенной формальной системы). Формула: Ух(Р(х) -> С?(дг)£)).

2. Создаем формулу логики предикатов: Зх(Р(х) л-и (?(*). Интерпретируем ее в сфере символической логики. "Существует выражение х, который имеет свойство "формуле" и не имеет свойства "быть законом символической логики".

Некоторые высказывания сложнее по структуре, чем уже приведенные, поэтому их символическая запись на языке логики предикатов усложняется. Например:

1. Создаем высказывание, в котором общей сферой действия квантора с предметными переменными х, у, г, су будет сфера научного знания, а именно - гипотеза и теория. "В каждой науке есть гипотезы, которые после их проверки на истинность не становятся теориями".

"В каждой (квантор всеобщности V) науке (одноместный предикат Р(х)) является (квантор существования 3) гипотезы (одноместный предикат Жу)> которые после их проверки на истинность (Ег) не становятся (отрицание следования) теориями (одноместный предикат Р(д)". Формула: УхР(х) -> ((ЗуЯ(в) -> (вг -> -" #(?))).

2. Строим высказывания, в котором общей сферой действия квантора существования всех предметных переменных х, у, г, с, д будет множество людей, среди которых есть подмножество студентов, которым присущи определенные свойства: "Существуют люди, которые являются студентами, и среди них есть такие, которые учатся на отлично и занимаются научной работой".

"Существуют (3) люди (Р(х)), которые (3) студентами ((?(*/)) и среди них есть (3) такие {Щг)), что учатся на отлично (В(с)) и занимаются научной работой (#д)). Формула: ЗхР(х) -> (((Зу () ()- > -> ((Згй(г) -> (В(с) Л На))).

На основании логического анализа определенного высказывания и определения его структуры можно осуществить символическая запись этого высказывания на языке традиционной логики и языком классической символической логики (логики высказываний и логики предикатов). Например:

И. "Все люди, которые работают, платят налоги".

1. На языке традиционной логики: "Все (квантор всеобщности выраженный на естественном языке) люди, работающие (субъекта), платят налоги (свойство Г)" (в этом высказывании связка "есть" выражена неявно, но она мыслится). Все 5 есть Р.

2. На языке логики высказываний. В логике высказываний абстрагируются от субъектно-предикатної структуры высказывания, и это высказывание определяют как простое. Обозначается символом А.

3. На языке логики предикатов (учитывается внутренняя структура высказывания): "Все (квантор всеобщности выраженный искусственным языком V) люди, работающие (подмножество индивидов, принадлежащих к множеству людей, которым присуще свойство работать Р(х) оплачивают налоги (свойство "платить налоги" <?(дг) (чит.: для всех индивидов, которым присуще свойство "работать", присуще свойство "платить налоги"). Формула: УхР(х) -> Я(х)).

II. "Некоторые языки являются трудными для изучения".

1. На языке традиционной логики: "Некоторые (квантор существования "некоторые" выражено на естественном языке) языка (S) есть (связка) трудными для изучения (предикат Р)". Некоторые S есть Р.

2. На языке логики высказываний. Простое высказывание А.

3. На языке логики предикатов: "Некоторые (квантор существования выражено искусственным языком 3) языка (Р(х)) является (3) трудными для изучения (Q(x)". ЗхР(х) -" Q(x).

Этому примеру может соответствовать и более сложный символический запись соответственно более точного выражения. Существуют (3) языка (Р(х)), которым присуще свойство "быть знаковой системой" (Q(y)) и свойство "быть трудными для изучения" (Н(г)). Формула: ЗхР(х) -> ((Q(y) (H(z)).

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее