Сложное суждение

Краткое содержание раздела

Сложное суждение (высказывание) является объектом изучения раздела логики, который называют *логикой высказываний. Логика высказываний является важной частью современной формальной логики, поскольку именно на этой теории основываются другие составляющие логики.

Понятие сложного высказывания

Высказывания, которое содержит в себе другие высказывания как составные части, называют *сложными. Если ни одна часть данного высказывания не может рассматриваться как самостоятельное высказывание, то оно называется простым или элементарным. Сложное высказывание, таким образом, включает в себя простые.

В логике высказываний не рассматривают и не учитывают внутреннюю структуру элементарных высказываний - расчленение на субъект и предикат. Поэтому простые высказывания называют еще атомарными, или атомами (от греческого - неделимый), a сложные - молекулярными, или молекулами (от латинского moles - кусок; частица вещества, состоящая из атомов) (аналогия с химией здесь чисто внешняя).

Логика высказываний отвлекается также и от содержания высказывания или его смысла, рассматривая любое высказывание (атом или молекулу) истина (1) или ложно (0).

Атомарные высказывания обозначают буквами - А, В, С, N или одной буквой с индексом - А,, А2, Ап. Эти буквы называют пропозиційними (от латинского propositio - предложение, высказывание) переменными, поскольку им соответствуют разные по содержанию элементарные высказывания.

Логические союзы и логические операции

Основными вопросами исследования логики высказываний являются:

1) как из атомарных высказываний образуются молекулярные;

2) как зависит значение истинности молекулы от значений истинности атомов, которые ее составляют.

Сложные высказывания образуются из элементарных с помощью логических союзов (пропозиційних связь), которым соответствуют логические операции, обозначаемые соответствующими символами логических операций или логическими операторами. Эту связь можно изобразить в таблице:

Образования новых высказываний из исходных с помощью логических союзов называют логическими операциями. Каждая логическая операция определяется так, что значение истинности молекулярного высказывания зависит только от значений истинности составляющих его атомов, а не от их смысла или смысловой характеристики полученного высказывания.

Логическую операцию и ее результат обозначают одним и тем же словом. Например, конъюнкция, дизъюнкция и т.д. Определение операций дают в виде таблиц (матриц) истинности, в которых подаются значения истинности молекулы при всех возможных комбинациях значений истинности составляющих ее атомов.

Если в молекулу входят п образующих ее атомов, то для них возможны 2" различных комбинаций значений истинности атомов и таблица истинности молекулы будет состоять из 2" строк.

Для того, например, чтобы правильно построить таблицу истинности для молекулы из трех (А,В,С) атомов, необходимо придерживаться следующего алгоритма:

1) определить количество строк в таблице: 23 = 8;

2) в первом левом столбце значение истинности распределяется так: 8: 2 = 4, то есть первые четыре - "истина (1)", а четыре последующие - "ложь (0)";

3) второй столбик - 4: 2 = 2 и т. д.

А

B

C

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

Построенная нами матрица соответствует двум необходимым условиям: 1) она включает все возможные комбинации значений истинности атомов, то есть является исчерпывающей; 2) ни одна из этих комбинаций не повторяет другую.

Учитывая эти требования, дадим определение логическим операциям.

1) Конъюнкция.

Кон'юнкцією высказываний А и В называют высказывание А/В (читается "и В"), которое является истинным тогда и только тогда, когда истинными являются все атомы. Этому определению соответствует таблица:

Например, "Я сдал зачет по логике (А) и истории Украины (В)". Если оба эти высказывания являются истинными, то и молекулярное высказывание - истинно (1-ая строка матрицы). Во всех других случаях - когда истинно лишь одно высказывание, или оба являются ложными - высказывания в целом является ложным (2, 3,4 строки).

Формуле АЛВ отвечают также высказывания: "А вместе с В", "как А, так и В", "А и В", "А в то же время, как и В" и т.д.

2) Дизъюнкция.

Дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание АмВ (читают "или В"), которое является истинным тогда и только тогда, когда по крайней мере один из атомов является истинным. Определению соответствует таблица:

Например, "Буду читать учебник (А) или составлять из него конспект (В)". Эти действия могут исключать друг друга и высказывание будет истинным (2,3 строка). Но эти действия могут происходить и одновременно, тогда высказывание будет истинным (1 строка). Но, если ни одно из утверждений не соответствует действительности (является ложным, 4 строка), то и высказывания в целом будет ложным.

В приведенном примере союз "или" используется в соединительно-роз'єднувальному смысле, то есть "А или В, или оба”. Этом смысла отвечают также: "А и/или В", "А и В или А или В", "А, если не В" и т.д.

В украинском языке (как и в многих других) союз "или" может использоваться и в сугубо роз'єднувальному смысле, то есть "или ...". Этот смысл соответствует логической операции сильной (строгой) дизъюнкции.

3) Сильная дизъюнкция.

Сильной дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А^В (читают ы или А, или В"), которое является истинным тогда и только тогда, когда только один из атомов является истинным. Этому определению соответствует таблица:

Например, "Пойду в кино) или в библиотеку (В)". Понятно, что эти утверждения не могут быть одновременно истинными (1 строка), ибо человек не может быть одновременно в двух разных местах. Высказывания в целом будет ложным и тогда, когда эти утверждения являются одновременно ложными (4 строка). Молекула будет истинной только тогда, когда лишь один атом является истинным.

Формуле AwB соответствуют выражения: "А или В, но не оба", "А, В", "А, кроме случая, когда В" и т.д.

Поскольку утверждение А и В являются взаимоисключающими, то их называют альтернативами (от латинского alterno - чередую, меняю).

4) Импликация.

Імплікацією высказываний А и В называют высказывание А-)В (читают "если А, то В "), которое является ложным тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Определению соответствует таблица:

Импликация отражает различные отношения между простыми суждениями. В частности, отношение подчинения (А, Е -1, О), когда, например, из истинного общего суждения следует истинное частичное и это отношение в целом является истинным (1 строка). "Если все юристы знают логику, то и некоторые юристы знают логику". Но, если общее суждение истинно, то частичное не может быть ложным (2 строка). Такое высказывание в целом будет ложным.

В импликации А-"левая часть А называется антецедентом (от латинского antecedens - предшествующий), а права - консеквентом (от латинского consequens - следующий). Формуле импликации соответствуют выражения: "А тогда, когда В", "поскольку А, то В", "в случае А и В", "А імплікує В" и т.д.

Следует различать материальную імплікацію и условное высказывание.

В условном высказывании левая часть предопределяет праву, то есть они находятся в определенной смысловой и содержательной зависимости. Например, "Если воду охладить до 0 °С, то она превратится в лед". В материальной импликации левая и правая части могут не находиться в зависимости, а лишь связанные союзом "если..." Например, "Если вчера была хорошая погода, то сегодня с утра идет дождь".

5) Двойная импликация.

Двойной імплікацією (еквіваленцією) высказываний А и В называют высказывание А"-"В (читают "если и только если А, то В"), которое является истинным тогда и только тогда, когда значения истинности атомов совпадают. Определению соответствует таблица:

Двойная импликация является таким отношением между атомарными высказываниями, когда из А следует В, а из В следует А. То есть, при правильно определенном отношении между А а В эти суждения будут равнозначными. Это известное уже нам виділяюче суждения. Например, "Если и только если геометрическая фигура является квадратом, то она является равносторонним прямоугольником". Если поменять левую и правую части выражения, то его смысл не изменится.

Поскольку логика высказываний отвлекается от предметного содержания атомов, то важным для нас является значение истинности двойной импликации. 1) Если она является истинной, то это означает, что оба атомы являются одновременно либо истинными, либо ложными. 2) Если она ошибочна, то это означает, что значение истинности атомов является противоположным.

6) Возражения.

Отрицанием высказывания А называют высказывания ~А (читают "неверно, что А" или просто "А"), которое является истинным, когда А - ложно, и наоборот. Этому определению соответствует таблица:

Из таблицы видно, что два противоречивых утверждения всегда имеют противоположные значения истинности.

Используя пропозиційні переменные и знаки логических операций любое высказывание можно *формализовать, то есть заменить формулой логики высказываний, которая будет отражать его структуру.

Например, "Неправильно, когда соберутся Петр и Николай, то они будут играть в шахматы".

В структуре этого высказывания с три атома:

А - Петр;

- Николай;

С - они будут играть в шахматы, и такие логические операции: отрицание (~); когда (если)..., то ... (->);... и(и)...(л).

Итак, структура этого высказывания:

-(А Л В) -> С.

Читаем: "Неправильно, что, если А и В, то С". Понятно, что эта формула отражает множество высказываний такого типа, потому что А, В. С могут символизировать разные по смыслу утверждения.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >