Отношение эквивалентности между сложными высказываниями

Среди формул логики высказываний есть такие, которые независимо от значений истинности их атомов есть всегда істинними. их называют тождественно истинными формулами или тавтологіями.

Примером тавтологии является уже известный вам закон исключенного третьего А V-А. Построим его матрицу:

Как видим, независимо от того, какие значения истинности имеют атомы (А, -А), формула в целом имеет значение истинности - "Истина" (1).

Отметим, что любой закон логики является тождественно истинной формулой или тавтологией.

*Две формулы F1 и F2с эквивалентными (равносильными) тогда и только тогда, когда их двойная импликация (F1-F2) - тавтология.

Проверка эквивалентности двух формул осуществляют с помощью таблиц истинности. Если значения их истинности в целом одинаковы, то соответствующие формулы эквивалентны. Проверим, например, эквивалентны следующие формулы:

А->Ви~А УВ

Построим их таблицы истинности:

Очевидно, что двойная импликация этих формул является тавтологией:

(А ->) <-* (~ А V В)

Некоторыми элементарными еквівалентностями логики высказываний являются следующие:

1) А->В = ~А/В - выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание.

2), а) ~ (А Л В) = ~ А V - В;

Ь) ~(А/В) = ~АЛ~В - законы де Моргана.

3) <-> В = (А -> В) Л (В -> А) - двойная импликация через імплікацію и конъюнкцию.

4) Воспользовавшись эквивалентностью (1), получим: А <-> В = (~А V В) Л (~В V А).

5) Воспользовавшись правилом де Моргана (2Ь), получим: А <-> В н ~ (А Л ~В) Л ~(Л-А).

Отношение эквивалентности позволяет превращать одни (сложные) высказывания на другие (простые).

Особенности импликации

Импликация двух высказываний (А и В) существенно отличается от других логических операций конъюнкции, дизъюнкции и двойной импликации. Если АЛВ = ВЛА, АУВ а ВуА, А<->В = В<->А, то А->Ф В->А. То есть, если все логические операции являются симметричными, то импликация не является симметричной операцией.

Именно поэтому, мы давали ее определения не через случай истинности, а через случай ложности.

Теперь рассмотрим случаи ее истинности. Матрица импликации имеет вид:

Из таблицы видно, что:

1) Импликация всегда истинна, при ошибочном антецеденті, независимо от значения истинности консеквента (строки таблицы 3,4). В обоих случаях А является ложным, но в третьей строке В является истинным, а в 4-м В-ложное. Следовательно, мы можем определить истинность импликации, зная только значение истинности левой части. Если она ложна, то импликация истинна.

2) Импликация всегда истинна при истинном консеквенті (1, С строки), независимо от значения истинности антецедента. Так, в первой строке он истинный, а в третьем - ошибочный. Это тоже позволяет определять истинность импликации только по значению истинности консеквента.

Итак, импликация истинна тогда и только тогда, когда антецедент является ложным или консеквент является истинным.

Отношение логического следования

Очень важным в логике высказываний и в логике вообще) есть отношение логического следования, поскольку на нем основаны все умозаключения и доказательства. Отношение логического следования обозначают символом К Формула Б. н Б2 читается: "С Г. логически следует (вытекает) Р2 или Р2 является логическим следствием

Из формулы Р1 логически следует формула Р2 тогда и только тогда, когда их импликация (¥ ] -является всегда истинной формуле (* и етологією).

Между отношением логического следования (Н) и імплікацією (->) существует тесная связь, но их не следует путать. Импликация - это высказывание, состоящее из двух элементарных высказываний и среди наборов ее значений истинности может быть "ложь". *Логическое следование - это отношение между двумя высказываниями, которое является всегда истинной імплікацією.

Для проверки, есть Б2 логическим следствием ¥г необходимо:

1) соединить их знаком импликации (Р,-"Р2);

2) построить таблицу для полученной формулы;

3) если эта формула является тавтологией, то с Г, логично вытекает ее (Б, Ь Б2); если эта формула не является тавтологией, то с Бы, логично не вытекает Р2

Пусть Г, - (АлВ), а Р2 - (А/В). Проверим, есть ¥2 логичным следствием Б,.

Поскольку полученная формула является тавтологией, то это означает, что Р, ьР2. Проверим теперь наоборот: есть Г, логическим следствием Р2.

Поскольку эта формула не является тавтологией, то это означает, что Р не является логическим следствием из Р2

Если Р1ЬР2, но ¥2*¥19 то формула Р, является более сильной по отношению к Р2. Если же Р,И Р2 и $2и-¥1, то Р1 и Р2 - равносильные или эквивалентные.

Литература для углубленного изучения раздела

А. Основная.

1. Гетманова А.Д. Логика. - М.: Новая школа, 1995. - С. 68-83.

2. Жеребкін В.Е. Логика. - X.: Основа; К.: Знание, 1999. - С. 86-93.

3. Кириллов В.И., Старченко A.A. Логика. -М.: Высшая школа, 1995. -С. 158-163.

4. Конверский А.Е. Логика. - К.: Четвертая волна, 1998. - С. 195-202.

5. Иванов Е.А. Логика. - М: Издательство БЕК, 1996. - С. 137-171.

6. Свинцов В.И. Логика.-М.: Скорина; Весь мир, 1998.-С. 101-116.

7. Тофтул М.Г. Логика: Учеб. посібн. для студентов высших учебных заведений. - К.: Академия, 2003. - С. 90-102.

8. Хоменко И.В., Алексюк I.A. Основы логики. - К.: Золотые ворота, 1996. -С. 96-145.

9. Хоменко И.В. Логика: Учебник для студентов высших учебных заведений. - К.: Абрис, 2004. - С. 99-107.

В. Дополнительная

1. Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. - М.: Просвещение, 1990. -С. 154-209.

2. Карнап Р. Значение и необходимость. - М.: Наука, 1968. - С. 331-334.

3. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. - М.: Наука, 1975. Статьи: высказывание, дизъюнкция, импликация, исчисление высказываний, конъюнкция, отношение между суждениями, разделительное суждение, сложное суждение, суждение, условное суждение, эквивалентность.

4. Логические методы и формы научного познания. - К.: Наукова думка, 1984.-200 с.

5. Мельников В.Н. Логические задачи. - К.; Одесса: Высшая школа, 1989. -С. 59-101; 154-177.

6. Свинцов В.И. Смысловой анализ и обработка текста. - М.: Наука 1979.-272 с.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >