Доказательства и опровержения

Краткое содержание раздела

Особенностью научного познания является то, что новые результаты признаются истинными и включаются в основы отдельной науки, если они прошли логическую проверку на обоснованность и считаются доказанными. Эти требования касаются и других сфер человеческой деятельности, где есть потребность в обосновании истинности любых утверждений (суждений). Логический механизм обоснования истинности высказываний изучается разделом логики, который называют теорией доказывания, или аргументации.

Понятие и структура доказывания

Доказательство - это логическая операция обоснования истинности какого-либо суждения с помощью других истинных и связанных с ним суждений.

Логика изучает операцию доводки, отвлекаясь от конкретного содержания мыслей. В структуре доказывания различают тезис, аргументы и демонстрацию.

*Тезис доказательства - это суждение (утверждение), истинность которого обосновывают в процессе доказывания. Тезисом доказательства могут быть теоретические утверждения науки, обобщения эмпирических фактов, суждения о свойствах или причинах возникновения отдельных предметов или событий и т.д.

* Аргументы - это исходные теоретические или фактические утверждения, с помощью которых обосновывается тезис. Аргументами могут быть: знания об отдельных событиях (фактах), теории, аксиомы, постулаты, определения и т.п., то есть утверждения, истинность которых считается неоспоримой.

Демонстрация, или аргументация - это логическая связь между аргументами и тезисом. Аргументы как достаточные основания для тезиса находятся с тезисом в отношении логического следования:

Это означает, что при условии истинности аргументов, тезис тоже будет всегда истинной. Таким образом, логический переход от аргументов к тезису происходит в форме умозаключения. Это, как правило, цепочку рассуждений или умозаключений, основаниями в котором есть аргументы, а выводам-тезис. Продемонстрировать - значит показать, что тезис логически следует из допущенных аргументов по правилам соответствующих умозаключений.

Итак, в процессе доказывания для некоторого вывода (тезисы) восстанавливают основания вывода (аргументы).

Обоснование тезиса может происходить в форме дедуктивных умозаключений, индукции и аналогии. Мы будем рассматривать только дедуктивное доказательство.

Правила формально-логического доказательства

Правилом доказывания является любая правильная структура вывода* то есть такая формула, в которой между основаниями и заключением существует отношение логического следования. Ясно, что формула логики высказываний, которая отражает правильную структуру вывода, является всегда истинной формулой или законом логики.

*Основными правилами доказывания (вывода) есть такие:

1. Правило введения конъюнкции (ВК):

А. В-из двух истинных суждений логически следует их конъюнкция. Если истинность двух А Л В утверждений является доказанной, то можно образовать их конъюнкцию и использовать как новый аргумент.

2. Правило введения дизъюнкции (ВД):

А. В - из истинного суждения логически следует дизъюнкция его с любым А V В, А V В и другим суждением. Если истинность некоторого утверждения является доказанной, то можно образовать новое утверждение-аргумент - дизъюнкцию данного с любым другим, поскольку дизъюнкция будет истинна при истинности по крайней мере одного из них - А или В.

3. Правило устранения конъюнкции (УК):

А Л В. АЛВ - с истинной конъюнкции логически следует высказывание, что является одним из ее членов. Если истинность конъюнкции является доказанной, то можно выделить один из ее членов и использовать как новый аргумент.

4. Правило устранения дизъюнкции (УД), или правило modus tollendo ponens (mtp):

С дизъюнкции двух высказываний и отрицание одного из них логически вытекает второе высказывание. Если есть истинна дизъюнкция и доказана ложность одного из этих утверждений, то можно считать второе высказывание истинным и использовать его как самостоятельный аргумент.

5. Правило modus ponens (мр):

С истинной импликации и формулы, что является ее антецедентом, логически следует формула-консеквент этой импликации. Если условное высказывание и его основание являются достоверными, то можно отделить формулу-следствие этой импликации и использовать как самостоятельный аргумент. Это правило еще называют отделением консеквента (следствия).

6. Правило modus tollens (mt):

С истинной импликации и формулы, что является отрицанием ее консеквента, логически следует формула-отрицание ее антецедента. Если истинность условного суждения и отрицания его следствия являются доказанными, то можно отделить формулу-отрицание основания этого суждения и использовать ее как самостоятельный аргумент.

Кроме этих основных правил вывода в формальном доказательстве можно использовать и другие правильные структуры вывода или законы логики.