Прямое доведение

в Зависимости от способа обоснования истинности тезиса доказательства делятся на прямые и косвенные.

*Прямым называют доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается, исходя непосредственно из аргументов. Применение правил логического следования дает возможность из исходных формул, которые называют аргументами, основаниями или предположениями, выводить новые формулы, которые логически следуют из исходных. Это достигается путем построения последовательных формул, в которых каждая формула является основанием или выводом из предыдущих формул по одному из правил следования.

Рассмотрим пример формального доказательства, построенного с помощью правила мр. Покажем, что А -> В, В -> С, А ь С.

Сначала выпишем аргументы, то есть все формулы, стоящие слева от знака "Ь". А потом каждый новый вывод (аргумент) будем обосновывать правилу мр, записывая его дело от заключения.

Итак:

Таким образом, тезис "С" является доказанной. Последняя строка не нумеруємо для того, чтобы показать, что доказательство закончено.

Прямое доказательство, как видим, представляет собой последовательный ряд выводов, в котором вывод каждого из них, кроме последнего, входит в состав основателей одного из следующих выводов. Вывод последнего вывода является тезисом доказательства.

Возьмем еще один пример. Построим прямое доказательство для такого соображения: (А л В) -> ~С, В л С и-А.

Истинность тезиса (~А) является доказанной, поскольку каждый вывод (новый аргумент) полученный нами в ходе рассуждения по одному из правил вывода. Часто в рассуждениях вывод (тезис) формулируют как условное суждение (А -" С), тогда антецедент (А) этого утверждения используют как еще один аргумент. То есть:

В этом рассуждении фактически следует доказать истинность утверждения - "С":

Доведение будет иметь вид:

Построение прямого доказательства тезиса бывает не всегда возможным. Если, например, аргументов для прямого доказательства недостаточно, то используют косвенное доказательство.

Косвенное доказательство

* Косвенным называют доводкой, в котором истинность тезиса обосновывается погрешностью антитезы. * Антитезис - утверждение, которое является ложным тогда и только тогда, когда тезис является истинным*

При этом антитеза может быть выражена двоїсто: 1) если тезисом является утверждение "А", то антитезой будет его отрицание - "~А";

2) антитезой для утверждения "А", которое входит в состав альтернатив (А Л/ В Л/ С), будут утверждения "В" и "С".

Это двойственное выражение антитезы разделяет косвенное доказательство на два вида: 1) апагогічне (от греческого - уклонение, отвод), то есть доведение методом "от противного" и 2) разделительное доказательство, то есть доказательство методом исключения.

1) В апагогічному доведении вместо того, чтобы доказывать истинность тезиса "А", предполагают истинность антитезиса "~А" и строят прямое доказательство этого утверждения. Если в ходе доказывания между любыми двумя пунктами (утверждениями) возникает противоречие (например, "В" и "-В"), то это означает, что предположение истинности антитезиса (~А) является ложным, и истинным тезис (А). Действительно, из двух противоречивых высказываний "А" и "-А" только одно является истинным (закон исключенного третьего). Формула (Л-В) - это формула-противоречие (всегда ложная формула), а она может быть логическим следствием только неверной формулы (~А). То есть:

В этом случае между "~А" и "В Л-В" существует отношение логического следования (~А И- (Л-В)). В противном случае отношение логического следования не существует, ибо формула:

будет всегда ложным.

Таким образом, тезис А будет истинной:

Давайте апагогічне доказательства для такого рассуждения:

Предположим, что "~А", т.е. что истинной является антитеза.

Поскольку между пунктами 8 и 9 возникло разногласие, а каждое из этих утверждений полученное по соответствующим правилам вывода, то это означает, что наше предположение истинности антитезиса "~А" является ошибочным. Следовательно, истинным является тезис "А".

1) В разделительном доказательстве истинность тезиса обосновывается путем последовательного доказательства ложности всех членов разделительного высказывания (дизъюнкции), кроме одного.

Например, необходимо доказать тезис "Это сделал А". Имеем такие аргументы (основания): 1) это могли сделать только А, или В, или С; 2) установлено, что к этому не причастны ни В, ни С.

Использовав структуру разделительно-категорического вывода (modus tollendo ponens):

Это могли совершить только А, или В, или С.

Ни В. ни С этого не делали.

Это сделал.

Вывод будет истинным, если в разделительном зародыше учтены все возможные альтернативы. Поскольку для modus tollendo ponens смысл союза "или" (дизъюнкция или сильная дизъюнкция) не имеет значения для правильности вывода, то данное рассуждение запишем в виде такой структуры вывода:

Эта структура вывода является правильной, следовательно, при истинных засновках вывод тоже будет истинным.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >