Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Выпуклые множества

Пусть X-линейное вещественное пространство.

Определение 1.1. Множество C X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками x(1) и x(2) оно содержит и весь отрезок. (т.е. с(x(1), x(2)))

На рисунке изображены 2 множества на плоскости R2 C-выпуклое, а С1-нет.

Совокупность всех выпуклых множеств из линейного пространства X обозначается - CONV(X)

Рассмотрим множество С, такое, что С - множество точек, а x - любая фиксированная точка этого пространства. Расстояние от x до С обозначим с(x, С). Тогда с(x, С) - есть точная нижняя грань расстояний от х до всевозможных точек С. (если C Еm, Еm - m-мерное Евклидовое пространство). Итак, получаем:

Множество с(x,y) всегда ограничено снизу, для любого y?С, с(x,y)=0.

Лемма: Пусть С - замкнутое множество из рефлексивного банахового пространства X и пусть для любых x1, x2 ? C существует число б = б(x1, x2) ?[0, 1], вообще говоря, зависящее от x1 и x2, и такое, что:

Тогда множество С - выпукло.

Доказательство: 1) Допустим, противное, т.е. множество C невыпукло. Тогда найдутся точки x1, x2 ? C, x1 ? x2 и число б0 ?[0, 1] такие, что:

Положим

Эти множества замкнуты (т.к. пересечение замкнутых множеств), причем x0?Di, i=1,2, поскольку x0?C. Кроме того, они очевидно ограничены.

2) Далее, из свойств рефлексивного банахова пространства вытекает, что существуют элементы z1 ? D1 и z2 ? D2 такие, что:

Из построения D1 и D2 следует, что, в частности, zi ? C, i = 1, 2.

3) При этом на полуинтервалах (z1, x0] и [x0, z2) нет точек из C (в соответствие с (**)). Так что: (z1,x0)?C=? ; (x0,z2)?C=?

Таким образом, z1, z2 ? C, но внутри отрезка [z1, z2] нет ни одной точки из C, что противоречит условию (*). Следовательно, множество C выпукло.

Определение 1.2. Пересечение всевозможных выпуклых множеств С, содержит данное множество М, называется выпуклой оболочкой множества М и обозначается:

Определение 1.3. Пусть x1,…,xn - элементы пространства X. Тогда вектор - называется линейной оболочкой или выпуклой комбинацией x1,…,xn, если в (1.2) соответственно:

а) - любые действительные числа.

б)

c)

d)

Другими словами, для выпуклого множества С, в частности, имеем:

Где векторы x1,x2,…,xn?X.

Рассмотрим теперь произвольное множество M ? X.

Свойство 1.1. Выпуклая оболочка множества М состоит из всех выпуклых комбинаций элементов из М.

Доказательство: Рассмотрим выпуклую оболочку М.

- множество всех выпуклых комбинаций точек из М. Покажем, что М?М.

Пусть Тогда для ??[0;1] выпуклая комбинация точек y1 и y2

, а эта последняя сумма из (***) является выпуклой комбинацией точек ; поскольку имеет место цепочка равенств:

итак, М?М и М - выпукло. Следовательно, co M? M.

С другой стороны, если y?М, то y является выпуклой комбинацией точек из М, и поэтому М=co M.

Свойство 1.1. Множество М выпукло тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей выпуклой оболочкой.

Значит, всякая точка из co М может быть представлена в виде выпуклой комбинации некоторого конечного числа точек (которое может быть достаточно большим).

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее