ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Выпуклые множества

Пусть X-линейное вещественное пространство.

Определение 1.1. Множество C X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками x(1) и x(2) оно содержит и весь отрезок. (т.е. с(x(1), x(2)))

На рисунке изображены 2 множества на плоскости R2 C-выпуклое, а С1-нет.

Совокупность всех выпуклых множеств из линейного пространства X обозначается - CONV(X)

Рассмотрим множество С, такое, что С - множество точек, а x - любая фиксированная точка этого пространства. Расстояние от x до С обозначим с(x, С). Тогда с(x, С) - есть точная нижняя грань расстояний от х до всевозможных точек С. (если C Еm, Еm - m-мерное Евклидовое пространство). Итак, получаем:

Множество с(x,y) всегда ограничено снизу, для любого y?С, с(x,y)=0.

Лемма: Пусть С - замкнутое множество из рефлексивного банахового пространства X и пусть для любых x1, x2 ? C существует число б = б(x1, x2) ?[0, 1], вообще говоря, зависящее от x1 и x2, и такое, что:

Тогда множество С - выпукло.

Доказательство: 1) Допустим, противное, т.е. множество C невыпукло. Тогда найдутся точки x1, x2 ? C, x1 ? x2 и число б0 ?[0, 1] такие, что:

Положим

Эти множества замкнуты (т.к. пересечение замкнутых множеств), причем x0?Di, i=1,2, поскольку x0?C. Кроме того, они очевидно ограничены.

2) Далее, из свойств рефлексивного банахова пространства вытекает, что существуют элементы z1 ? D1 и z2 ? D2 такие, что:

Из построения D1 и D2 следует, что, в частности, zi ? C, i = 1, 2.

3) При этом на полуинтервалах (z1, x0] и [x0, z2) нет точек из C (в соответствие с (**)). Так что: (z1,x0)?C=? ; (x0,z2)?C=?

Таким образом, z1, z2 ? C, но внутри отрезка [z1, z2] нет ни одной точки из C, что противоречит условию (*). Следовательно, множество C выпукло.

Определение 1.2. Пересечение всевозможных выпуклых множеств С, содержит данное множество М, называется выпуклой оболочкой множества М и обозначается:

Определение 1.3. Пусть x1,…,xn - элементы пространства X. Тогда вектор - называется линейной оболочкой или выпуклой комбинацией x1,…,xn, если в (1.2) соответственно:

а) - любые действительные числа.

б)

c)

d)

Другими словами, для выпуклого множества С, в частности, имеем:

Где векторы x1,x2,…,xn?X.

Рассмотрим теперь произвольное множество M ? X.

Свойство 1.1. Выпуклая оболочка множества М состоит из всех выпуклых комбинаций элементов из М.

Доказательство: Рассмотрим выпуклую оболочку М.

- множество всех выпуклых комбинаций точек из М. Покажем, что М?М.

Пусть Тогда для ??[0;1] выпуклая комбинация точек y1 и y2

, а эта последняя сумма из (***) является выпуклой комбинацией точек ; поскольку имеет место цепочка равенств:

итак, М?М и М - выпукло. Следовательно, co M? M.

С другой стороны, если y?М, то y является выпуклой комбинацией точек из М, и поэтому М=co M.

Свойство 1.1. Множество М выпукло тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей выпуклой оболочкой.

Значит, всякая точка из co М может быть представлена в виде выпуклой комбинации некоторого конечного числа точек (которое может быть достаточно большим).

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >