Выпуклый функционал

Определение 2.1. Выпуклым функционалом называется функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством.

Функционал f, не принимающий значений, равных -? на выпуклом множестве M, будет выпуклым на M тогда и только тогда, когда выполняется:

При обратном знаке неравенства функционал f называется вогнутым.

Примерами выпуклых функционалов является:

¦ норма;

¦ полунорма;

¦ линейный функционал;

¦ функционал Минковского выпуклого и симметричного множества;

Операции, переводящие выпуклый функционал в выпуклый функционал:

Пусть функционалы f и g - определены на множестве М. f,g - выпуклые функционалы. Введем число б, такое что б > 0. Операции:

Сложение:

Умножение:

Взятие верхней грани:

Инфимальная конволюция:

Выпуклый функционал, ограниченный сверху в окрестности некоторой точки х, является непрерывным в этой точке. Если выпуклый функционал конечен в некоторой точке х, то он имеет производную по любому направлению (конечную или бесконечную) в этой точке. Замкнутые выпуклые функционалы (т. е. функционалы с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклых линейных топологических пространствах допускают двойственное описание: они являются верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая двойственность позволяет связать с каждым выпуклым функционалом двойственный объект, сопряженный функционал:

Функционал - f заданный на выпуклом множестве М, называется строго выпуклым, если неравенство (*) перейдет в строгий вид, при этом x ? y, б?(0;1).

Свойства строго выпуклых функционалов.

Строго выпуклый функционал имеет не более одной точки локального минимум в М и ни одной точки локального максимума. Точки глобального максимума строго выпуклого функционала, определенного на выпуклом компакте, лежат на границе этого компакта. Глобальный минимум функционала f имеет в стационарной точке (если она существует).

Функционал Минковского

В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нём.

Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества М определим функционал Минковского.

(предполагается, что 0?M и множество {r>0| x? rM} непустое).

* Если M - выпукло и симметрично, то:

* Если M - сбалансированное множество, то есть бM?M для ?б, |б|<1.

Свойство 3.1. Функционал Минковского неотрицателен и сублинейнен.

Свойство 3.2. Справедливы следующие включения:

Свойство 3.3. Если X - линейное топологическое пространство, то м(x|A) - непрервна в точке 0 тогда и только тогда, когда 0?inf A.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >