Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

Выпуклый функционал

Определение 2.1. Выпуклым функционалом называется функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством.

Функционал f, не принимающий значений, равных -? на выпуклом множестве M, будет выпуклым на M тогда и только тогда, когда выполняется:

При обратном знаке неравенства функционал f называется вогнутым.

Примерами выпуклых функционалов является:

¦ норма;

¦ полунорма;

¦ линейный функционал;

¦ функционал Минковского выпуклого и симметричного множества;

Операции, переводящие выпуклый функционал в выпуклый функционал:

Пусть функционалы f и g - определены на множестве М. f,g - выпуклые функционалы. Введем число б, такое что б > 0. Операции:

Сложение:

Умножение:

Взятие верхней грани:

Инфимальная конволюция:

Выпуклый функционал, ограниченный сверху в окрестности некоторой точки х, является непрерывным в этой точке. Если выпуклый функционал конечен в некоторой точке х, то он имеет производную по любому направлению (конечную или бесконечную) в этой точке. Замкнутые выпуклые функционалы (т. е. функционалы с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклых линейных топологических пространствах допускают двойственное описание: они являются верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая двойственность позволяет связать с каждым выпуклым функционалом двойственный объект, сопряженный функционал:

Функционал - f заданный на выпуклом множестве М, называется строго выпуклым, если неравенство (*) перейдет в строгий вид, при этом x ? y, б?(0;1).

Свойства строго выпуклых функционалов.

Строго выпуклый функционал имеет не более одной точки локального минимум в М и ни одной точки локального максимума. Точки глобального максимума строго выпуклого функционала, определенного на выпуклом компакте, лежат на границе этого компакта. Глобальный минимум функционала f имеет в стационарной точке (если она существует).

Функционал Минковского

В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нём.

Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества М определим функционал Минковского.

(предполагается, что 0?M и множество {r>0| x? rM} непустое).

* Если M - выпукло и симметрично, то:

* Если M - сбалансированное множество, то есть бM?M для ?б, |б|<1.

Свойство 3.1. Функционал Минковского неотрицателен и сублинейнен.

Свойство 3.2. Справедливы следующие включения:

Свойство 3.3. Если X - линейное топологическое пространство, то м(x|A) - непрервна в точке 0 тогда и только тогда, когда 0?inf A.

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее