Теорема Хана-Банаха

Теорема 4.1. Пусть L - действительное линейное пространство и L0 - некоторое подпространство L. f0 - некоторый линейный функционал и пусть он задан на L0. Линейный функционал f - определен на всем пространстве L. f - продолжение функционала, если f(x)=f0(x), ?x ? L0.

Теорема 4.2. Пусть p - однородный выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве L, и пусть L0 - линейное пространство в L. Если f0 - линейный функционал на L0, подчиненный функционалу p(x) на L0 т.е. если на L0 f0(x)? p(x), то f0.может быть продолжен до линейного функционала f на L, подчиненного p(x) на всем L.

Доказательство: Покажем, что если L0? L, то функционал f0 можно продолжить с L0 на некоторое большое подпространство L' с сохранением условия f0(x)? p(x). Действительно, пусть z - произвольный элемент из L, z ? L0 и L' - подпространство, порожденное L0 и z. Кждый элемент из L' имеет вид: .

Если f' - искомое продолжение функционала f0 на L', то или, если положить .

Теперь выбираем c так, чтобы сохранить на L' условие подчинения f0(x)? p(x), т.е. ?x ? L0 и ?t (A - действительное) выполнялось: f0(x)+tc? p(x+tz). При t > 0 оно равносильно: , или , а при t > 0: или .

Покажем, что всегда ?c, удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть и - произвольные элементы из L0, тогда:

Это вытекает из неравенства:

Положим . Из (*) , т.к. и - произвольные. Выбрав c такое, что , определим на формулой . Этот функционал удовлетворяет условиям , ?x ? L0.

Итак, мы показали, что - определен на некотором подпространстве L0? L и удовлетворяет на L0 условию подчинения. Значит - можно продлить (с сохранением условия) на некоторое большое подпространство .

Если в L можно выбрать счетную систему элементов x1,x2,…,xn,…, порождающую все L, то функционал на L строим по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространств:

- минимальное линейное подпространство L, содержащие и . Так как каждый элемент x ? L. В общем случае, когда счётного множества порождающего L не существует по Лемме Цорна.

Теоремы отделимости.

Пусть X -- линейное топологическое пространство, X* -- сопряженное к нему.

Определение 4.1. Говорят, что функционал x* ? X* разделяет множества A и B, A ? X, B ? X, если существует г ? R, такое что

и строго разделяет A и B, если существует такое г, что:

Геометрически неравенство (**) означает, что гиперплоскость

отделяет множества A и B друг от друга в том смысле, что A лежит в одном полупространстве

а B -- в другом

Неравенство же (***) означает, что при этом г можно выбрать таким образом, чтобы A и B лежали внутри соответствующих полупространств и не имели общих точек с H(x*, г).

Теорема 4.3.( об отделимости)

Пусть A и B -- выпуклые непустые подмножества пространства X, int A ? ? и, кроме того,

(¦) int A ? B = ?.

Тогда существует нетривиальный функционал x* ? X*, разделяющий A и B.

Доказательство:

а) Поскольку int A ? ? и B ? ? то существуют a0 ? int A и b0 ? B. Тогда множество

является непустым выпуклым множеством, содержащим 0.

Покажем, что это множество открыто. Действительно, пусть x ? C. Тогда x = a - a0 ? b + b0, a ? int A, b ? B. Поэтому существует окрестность U = U(a) точки a такая, что U ? int A. Тогда x ? V = U - a0 ? b + b0 ? C.

b) Кроме того, точка c = b0?a0 ? C. Действительно, в противном случае существовали бы точки a ? int A и b ? B, для которых b0 ? a0= a ? a0? b + b0 ? C.

Отсюда a ? b = 0 или a = b ? (int A) ? B, что противоречит (¦).

c) Обозначим через p(x) функцию Минковского множества C. Тогда p(x) -- сублинейная и непрерывная в точке 0 функция. Кроме того, p(x) ? 1 для любого x ? C.

d) На подпространстве

определим функционал l(·) по правилу:

Покажем, что l(·) -- линейный функционал. Действительно,

Покажем теперь, что функционал l(·) мажорируется функцией Минковского p(·) множества C.

Если б > 0, то <l, бc> = бp(c) = p(бc). Если же б ? 0, то, поскольку p(c) ? 0 <l, бc> = бp(c) ? 0 ? p(бc).

Таким образом, <l, x> ? p(x) ?x ? L. Тогда по теореме Хана- Банаха l(·) можно продолжить до линейного функционала Л ? X:

.

.

Поскольку p(·) непрерывна в нуле, то из () следует непрерывность функционала Л (из <x*, x> ? p(x) ? x ? X.) и Л ? X*.

e) Для любого a ? int A и для любого b ? B имеем: <Л, a - b> = <Л, a - a0 ? b + b0> + <Л, a0 - b0> (),() ? ? p(a - a0 ? b + b0) ? <l, a0 - b0> () ? 1 ? p(b0? a0), поскольку (a - a0 ? b + b0) ? C. Итак, для любого a ? int A и для любого b ? B.

g) Покажем теперь, что для любого t из полуинтервала (0, 1] точка c не может принадлежать C. В самом деле, если бы такое включение имело место, то, поскольку 0 ? C и C выпукло, мы бы получили: . Что невозможно, поэтому:

Тогда из () следует, что для любых a ? int A и b ? B < Л, a-b> ? 1- p(? 0. Поскольку в полученном неравенстве: , a ? int A, b ? B переменные a и b независимы, то:

. Учитывая, что:

. получаем требуемое.

Кроме того, из () и ():

. так что Л ? 0. Таким образом, Л нетривиален и разделяет A и B.

Теорема 4.4.( об отделимости)

Пусть X -- локально выпуклое топологическое пространство, A -- непустое замкнутое выпуклое подмножество X, и существует точка z ? X, не принадлежащая A. Тогда множество A и точка z строго разделимы.

Доказательство:

Поскольку z ? A и A замкнуто, то существует окрестность U = U(z) точки z такая, что A ? U = ?. Ввиду локальной выпуклости X эту окрестность можно считать выпуклой. Тогда (по теореме 4.3) отделимости существует ненулевой функционал x*, разделяющий A и U. Другими словами:

Остается заметить, что: , поскольку нижняя грань ненулевого линейного функционала не может достигаться во внутренней точке выпуклого множества.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >