Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Исходя из изложенного теоретического курса (в 1 части), мною были решены следующие задачи:

Пример 1. В пространстве R2 с элементами  на подпространстве

задан линейный функционал . Доказать, что существует единственное продолжение f на все R2 с сохранением нормы и найти это продолжение.

Решение:

По теореме Хана-Банаха для всякого ограниченного линейного функционала f, заданного на подпространстве L, существует его продолжение на все X с сохранением нормы. В пространстве R2 линейный ограниченный функционал имеет вид , тогда на подпространстве L, где , имеем . Поскольку мы строим продолжение с сохранением нормы, то

.  (по теореме Рисса). Вычислим . Покажем, что в R2 задана, Евклидова норма, тогда на подпространстве L:

, а 

т.е.; Итак ; Систем имеет единственное решение:

Значит и продолжение единственно: .

Пример 2. Доказать выпуклость множества

Решение:

Пусть , то есть и . Тогда имеем:

.

Значит , т.е. множество выпукло.

Пример 3. Записать уравнение гиперплоскости, к множеству в точке .

Решение:

Функция из - строго выпукла, т.к. , а значит множество выпукло. Следовательно опорной к плоскости является касательная плоскость множества в точке . > . По условию подставим и получим:

.

Пример 4. Определить, будет ли выпукла на множестве . Функция .

Решение:

Проверим выпуклость множества . Функция - выпукла на по свойству выпуклых функций множество - выпукло.

Составим матрицу ; на подпространстве: тогда функция будет выпуклой.

выпуклый множество функционал векторный

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. «Выпуклый анализ» - 1973. В. М. Тихомиров.

2. «Элементы теории функций и функционального анализа» - А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин

3. «Основы функционального анализа. 3-е изд.» - 2000. Кутателадзе С.С.

4. «Функциональный анализ в упражнениях.» - Грибанов Ю.

5. «Теоремы и задачи функционального анализа.» - Кириллов, Гвишиани.

6. «Функциональный анализ.» - 2004. Л.В.Канторович, Г.П. Акилов

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее