ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Исходя из изложенного теоретического курса (в 1 части), мною были решены следующие задачи:

Пример 1. В пространстве R2 с элементами  на подпространстве

задан линейный функционал . Доказать, что существует единственное продолжение f на все R2 с сохранением нормы и найти это продолжение.

Решение:

По теореме Хана-Банаха для всякого ограниченного линейного функционала f, заданного на подпространстве L, существует его продолжение на все X с сохранением нормы. В пространстве R2 линейный ограниченный функционал имеет вид , тогда на подпространстве L, где , имеем . Поскольку мы строим продолжение с сохранением нормы, то

.  (по теореме Рисса). Вычислим . Покажем, что в R2 задана, Евклидова норма, тогда на подпространстве L:

, а 

т.е.; Итак ; Систем имеет единственное решение:

Значит и продолжение единственно: .

Пример 2. Доказать выпуклость множества

Решение:

Пусть , то есть и . Тогда имеем:

.

Значит , т.е. множество выпукло.

Пример 3. Записать уравнение гиперплоскости, к множеству в точке .

Решение:

Функция из - строго выпукла, т.к. , а значит множество выпукло. Следовательно опорной к плоскости является касательная плоскость множества в точке . > . По условию подставим и получим:

.

Пример 4. Определить, будет ли выпукла на множестве . Функция .

Решение:

Проверим выпуклость множества . Функция - выпукла на по свойству выпуклых функций множество - выпукло.

Составим матрицу ; на подпространстве: тогда функция будет выпуклой.

выпуклый множество функционал векторный

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. «Выпуклый анализ» - 1973. В. М. Тихомиров.

2. «Элементы теории функций и функционального анализа» - А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин

3. «Основы функционального анализа. 3-е изд.» - 2000. Кутателадзе С.С.

4. «Функциональный анализ в упражнениях.» - Грибанов Ю.

5. «Теоремы и задачи функционального анализа.» - Кириллов, Гвишиани.

6. «Функциональный анализ.» - 2004. Л.В.Канторович, Г.П. Акилов

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать