Виды средних величин и способы их вычисления

в Зависимости от характера усредненной признаки и имеющейся исходной информации в статистике применяются различные виды средних величин, среди которых больше всего используются следующие: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая.

Наряду с перечисленными видами средних величин в статистической практике находят применение также средняя хронологическая, средняя скользящая, средняя прогрессивная, средняя многомерная и так называемые структурные средние: мода, медиана и др.

Каждую среднюю можно определить как простую, когда значение наблюдаются только один раз или одинаковое число раз, и как взвешенную, когда значение повторяется разное количество раз. Введем следующие обозначения и понятия средних: х - среднее значение исследуемого признака; х - отдельные значения усредненной признака (варианты);

п - число единиц изучаемой совокупности; / - частота повторений (вес) вариант; Ч = х/- объем явлений. Признак, по которому находят среднюю, называют усредненной признаку. Величину признака каждой единицы совокупности называют варіантою или значением исследуемого признака. Частоту повторений вариантов в совокупности называют статистической весом.

Средние величины, применяемые в статистике, относятся к общему типу степенных средних. Отличаются они только показателем степени. Математическая статистика выводит различные средние из формулы степенной средней, которая представляет собой корень к-й степени из доли от деления суммы индивидуальных значений признака к-ой степени на число индивидуальных значений:

где к - показатель степени, определяющий вид средней. Подставляя в приведенную формулу вместо к соответствующие значения показателя степени, получим следующие средние:

Выбор того или иного вида средней определяется целями и задачами исследования и имеющейся информации.

Общим условием правильного исчисления всех видов средних является сохранение неизменным общего объема варьирующей признаки при замене индивидуальных значений признаков их средней. Так, средняя арифметическая применяется тогда, когда объем варьирующей признака образуется как сумма отдельных вариант; средняя гармоническая - когда объем варьирующей признака образуется как сумма обратных значений отдельных вариант; средняя геометрическая - когда объем варьирующей признака образуется как произведение отдельных вариант; средняя квадратическая - когда объем варьирующей признака образуется как сумма квадратов отдельных вариант.

Рассмотрим перечисленные выше виды средних более подробно.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Средняя арифметическая простая представляет собой частное от деления суммы индивидуальных значений признака на их общее число. ее вычисляют по формуле:

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда известны данные о отдельные значения признака и их число в совокупности, т.е. рассчитывается в случае, когда есть незгруповані индивидуальные значения признака. В статистической практике она применяется, как правило, для расчета средних уровней признаков, представленных в виде абсолютных показателей. Например, если есть данные о посевную площадь овощей в трех бригадах хозяйства (га): 47, 65 и 38 и необходимо определить средний размер посевной площади, то расчет средней величины необходимо осуществлять по формуле средней арифметической простой поскольку значение усредненной признаки встречаются одинаковое число раз (по одному разу):

Итак, средний размер посевной площади из расчета на одну бригаду составляет 50 га.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется из значений варьирующей признаки с учетом ваг. ее применяют в тех случаях, когда значения признака представлены в виде вариационного ряда распределения, в котором численность единиц по вариантах не одинакова, а также при расчете средней из средних при разном объеме совокупности. Взвешивание в данном случае осуществляется за частотами, которые показывают сколько раз повторяется та или иная варианта. Формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

Следовательно, при исчислении средней арифметической взвешенной необходимо все значения вариант умножить на их частоту, полученные произведения просуммировать и эту сумму разделить на сумму частот, то есть общий объем совокупности.

По аналогичной формуле определяется общая средняя (х"г) из групповых средних (хгр), если численность единиц по группам (/Ip) неодинакова:

Рассматривая формулу средней арифметической взвешенной, можно заметить, что она не имеет принципиального отличия от простой средней арифметической. Здесь суммирование / раз одного и того же варианта (х) заменяют умножением его на число повторений (частоту -/).

Порядок расчета средней арифметической в вариационном ряду распределения покажем на примере среднего настрига шерсти по группе хозяйств (табл. 4.1).

Таблица 4.1. Данные для расчета средней арифметической взвешенной

Поскольку значение усредненной признаки (настриг шерсти) повторяется неодинаковое число раз, то средний настриг шерсти определим по формуле средней арифметической взвешенной:

При расчете средней арифметической взвешенной частотами (весами) могут быть использованы относительные показатели структуры, выраженные в процентах или коэффициентах (долях). Методика расчета средней и конечный результат при этом не изменятся.

Если частоты выражены в процентах, то формула средней арифметической взвешенной может быть записана в таком виде:

где и, = -100 - удельный вес каждой части в общем объеме всех частот (в процентах).

Поскольку для всей совокупности £ си' = 100%, то формулу можно записать так:

Если частоты выражены в коэффициентах (долях), £ 1, тогда формула средней упрощается:

Порядок и последовательность расчета средней арифметической для случаев, когда весами используются относительные показатели структуры, рассмотрим на данных того самого примера (табл. 4.1).

Если весами взяты частоты, выраженные в процентах, то средний настриг шерсти на овцу составит:

а если частости: х = £, = 0,16 + 0,69 +1,60 +1,10 + 0,42 = 3,97 кг.

Итак, получены те же результаты как и при расчете средней арифметической взвешенной обычным способом.

Для интервальных вариационных рядов распределения, в которых значение признака дано в пределах "от", среднюю арифметическую взвешенную находят в такой последовательности. Сначала необходимо интервальный ряд распределения превратить в дискретный. Для этого по каждому интервалу находят его середину (центр). Срединное значение интервала обычно определяют как півсуму его нижней и верхней границ. Например, для интервального ряда распределения хозяйств по надою молока на корову (ц): 26 - 28, 28 - 30, 30 - 32 и т.д. серединами интервалов будут (ц): 27 = (26+28):2; 29 = (28+30):2; 31 = (30+32):2 и т.д.

Если есть интервалы с нечетко выраженными границами, с так называемыми "открытыми границами" (первый интервал "до" и последний - "свыше"), то для определения срединного значения нужно установить условные границы этих интервалов. Обычно в этих случаях решают так: для первого интервала принимают величину второго интервала, а для последнего - величину предпоследнего интервала.

Покажем переход от интервалов с открытыми границами с интервалов с закрытыми границами на таком примере распределения хозяйств по среднесуточному прирістом откормочного поголовья свиней (г):

открытые интервалы до 350 350 - 400 400 - 450

450 - 500

свыше 500

закрытые интервалы

300 - 350 350 - 400 400 - 450 450 - 500 500 - 550.

После того как найдены середины интервалов, среднюю арифметическую взвешенную вычисляют так же, как и в дискретном ряду распределения: значение умножают на частоты и полученную сумму произведений делят на сумму частот.

Порядок расчета средней арифметической в интервальном ряду распределения рассмотрим на примере распределения 100 хозяйств по надою молока на корову (табл. 3.10). Все расчеты сведем в табл. 4.2.

Таблица 4.2. Данные для расчета средней арифметической в интервальном ряду распределения

Средний надой на корову найдем по средней арифметической взвешенной:

Вычисления средней из интервального ряда распределения имеет некоторые особенности, связанные с определением середины интервала. Определение варианта как половину суммы верхней и нижней границ исходит из предположения, что индивидуальные значения признака внутри интервала распределяются равномерно и, следовательно, средние значения интервалов достаточно близко примыкают к средней арифметической в каждой группе. В действительности это не всегда так, поэтому средние, вычисленные из интервальных рядов, является приблизительным.