Средняя гармоническая

Средняя гармоническая является обращенной к средней арифметической, исчисленную из обратных значений усредненной признаки. В зависимости от характера имеющегося материала ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты, или, что то же самое, умножать на обратное их значение. Таким образом, средняя гармоническая рассчитывается, когда известны данные об объеме признаки (Ш=хф) и индивидуальные значения признака (х) и неизвестные веса (ф). Так как объемы признаков представляют собой произведение значений признака (х) на частоту ф, то частоту ф определяют съемные = Ш: х.

Формулы средней гармонической простой и взвешенной имеют вид:

Как видно, средняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, предварительно определив веса отдельных значений признака. При исчислении средней гармонической весами являются объемы признаков.

Средняя гармоническая простая применяется в случаях, когда объемы явлений по каждому признаку уровне.

Например, три комбайнера работают на уборке зерновых культур. Первый комбайнер на уборке 1 га в течение 7-часовой смены затрачав 35 мин, второй - 31 мин, третий - 33 мин. Нужно определить средние затраты труда на уборку 1 га зерновых культур.

Расчет средних затрат времени на уборку 1 га зерновых культур по формуле средней арифметической простой был бы правильным

тогда, когда бы все комбайнеры в течение смены собрали по 1 га или одинаковое количество гектаров зерновых культур. Однако в течение смены отдельными комбайнерами была собрана разная площадь зерновых культур.

Неправомерность применения формулы средней арифметической объясняется еще и тем, что показатель затрат труда на единицу работ (уборки 1 га зерновых культур) является обратным к показателю производительности труда (сбора зерновых культур за единицу времени).

Среднее время, необходимое для уборки 1 га зерновых культур по всем комбайнерах определим как отношение затрат времени всеми комбайнерами до общего количества собранных гектаров. В нашем примере нет сведений о количестве фактически собранных гектаров каждым комбайнером. Однако эти величины можно вычислить по следующим соотношением:

где все затраченное время для каждого комбайнера составит 420 мин (7год o 60 мин).

Тогда средние затраты времени на уборку 1 га зерновых культур можно определить по формуле:

Расчеты можно значительно упростить, если использовать формулу средней гармонической простой:

Итак, по этой совокупности комбайнеров на уборку 1 га зерновых культур в среднем затрачивается 32,9 мин.

Порядок расчета средней гармонической взвешенной рассмотрим на следующем примере (табл. 4.3).

Таблица 4.3. Данные для расчета средней гармонической взвешенной

Поскольку средняя урожайность представляет собой отношение валового сбора к площади посева, то сначала определим площадь посева картофеля по каждому хозяйству, а затем среднюю урожайность:

Согласно одной из свойств средняя гармоническая не изменится, если объемы явлений, которые являются весами отдельных вариант, умножить или разделить на какое-либо произвольное число. Это дает возможность при ее исчислении пользоваться не абсолютными показателями, а их удельными весами. Допустим, нужно определить среднюю цену реализации картофеля по следующим данным (табл.4.4).

Таблица 4.4. Данные для расчета средней цены реализации картофеля

В приведенном примере отсутствуют данные о выручке от реализации отдельных сортов картофеля, которая представляет собой произведение цены реализации 1 ц на количество реализованной картофеля. Поэтому вместо объемов явлений можно использовать их соотношение, то есть удельный вес отдельных сортов картофеля в общей выручке. Используя данные таблицы, определим среднюю цену реализации картофеля:

Среднюю гармоническую применяют также для определения средней урожайности по группе однородных культур, если известны валовой сбор и урожайность отдельных культур, для расчета среднего процента выполнения плана производства и реализации продукции по однородной совокупности, если известны данные о фактически произведенную или реализованную продукцию и процент выполнения плана по отдельным объектам и т.д.