Средняя геометрическая
Среднюю геометрическую применяют, когда общий объем явления есть не сумма, а произведение значений признака. Эта средняя используется в основном для расчета средних коэффициентов (темпов) роста и прироста при изучении динамики явлений (см. раздел 10) и имеет такой вид:
где п - число коэффициентов роста; в и в - начальный и конечный уровни динамического ряда.
Величина средней геометрической зависит только от соотношения конечного и начального уровней. Если бы не менялись в этих пределах другие уровни, величина средней не изменится.
Рассмотрим такой пример. По данным о посевную площадь сахарной свеклы в хозяйстве за 5 лет найти средний коэффициент роста площади посева сахарной свеклы за 2005 - 2009 гг. Все расчеты сведем в табл. 4.5.
Таблица 4.5. Данные для расчета средней геометрической
Среднее значение логарифма коэффициента роста составит: 0,1072 : 4 = 0,0268. По таблицам антилогарифмів найдем средний коэффициент роста посевной площади сахарной свеклы: апіії%х = 1,0636, или 106,36%.
Такой же результат получим и по второй формуле:
Итак, средний коэффициент роста посевной площади сахарной свеклы в хозяйстве за 2005 - 2009 гг. составил 1,0636. Иначе говоря, посевная площадь сахарной свеклы в хозяйстве ежегодно увеличивалась в среднем на 6,36%.
Средняя квадратичная
Средняя квадратическая используется преимущественно для расчета показателей вариации (колебания) признаки - дисперсии и среднего квадратичного отклонения, которые вычисляются на основе квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической. Кроме того, она применяется для обобщения признаков, выраженных линейными мерами каких-либо площадей (при вычислении средних диаметров стволов деревьев, корзинок, листьев, клубней и т.п.).
Формулы такие:
Например, есть данные о размере диаметров стволов трех яблонь (хг): 17; 22; 19 см. Нужно вычислить средний размер диаметра ствола яблони. Поскольку исходные данные представлены в виде квадратных функций, средний размер диаметра ствола яблони определим по формуле средней квадратической простой:
Если бы в приведенном примере отдельные значения диаметра ствола повторялись неодинаковое число раз, то средний размер диаметра ствола следовало бы рассчитывать по формуле средней квадратической взвешенной.
Исследуя статистическую совокупность, можно обнаружить, что наряду с признаками, которые присущи всем единицам изучаемого явления, есть и такие признаки, которыми одни единицы обладают, а другие нет. Такими признаками, например, будут наличие в партии продукции бракованной продукции, растения поражены болезнями и др. Такие виключаючі друг друга признаки называют альтернативными. При альтернативной вариации, когда есть только два исключающих друг друга случаи, наличие признака у единицы совокупности принято обозначать 1, а ее отсутствие - 0. Долю единиц, обладающих признаком исследуемой обозначают р, а долю единиц, не вододіючих этому признаку, - д. Очевидно, что г + д = 1, а д = 1-р.
Среднее значение альтернативного признака, вычисленное по формуле средней арифметической, будет равна:
Итак, среднее значение альтернативного признака равна доле единиц совокупности, обладающих данным признаком.
Если вычислить разные типы средних величин, полученных из степенной средней, для одного и того же вариационного ряда, то их численные значения будут отличаться друг от друга, а сами средние расположатся следующим образом:
то есть наибольшей будет средняя квадратическая, а наименьшей - средняя гармоническая. Порядок роста средних определяется значением степени к в степеневій средний.
Это свойство степенных средних получила название свойства мажорантності середніх.
Пример. Пусть имеем следующие значения же: 2; 3; 36. Вычислим указаны средние величины:
Полученные средние расположатся в таком порядке: 3,50 <6,00< 13,67< 20,89, что соответствует требованию свойства мажорантності средних:
