Свойства средней арифметической. Расчет средней арифметической способом моментов

Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, которые можно использовать, чтобы упростить ее расчеты. Основные свойства средней арифметической такие.

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:

2. Сумма квадратов отклонений от средней арифметической всегда меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой величины:

X (хX)2 / < (х-А)2 /.

3. Величина средней не изменится, если частоты ряда распределения заменить частостями.

4. Сумма отклонений отдельных значений признака от средней, перемножених на веса (частоты), равна нулю:

£ (х - х) = х - пх = 0 - для простой средней;

£ (х - х)/ = £ х/ - х£ / = 0 - для взвешенной средней.

5. Если все значения признаков увеличить или уменьшить в одинаковое число раз (к), то средняя (х) увеличится или уменьшится во столько же раз:

/ и у_/ ь-

то есть средняя уменьшилась в (к) раз.

6. Если из всех значений вариант (х) отнять или добавить к ним ту же постоянную величину (х0), то средняя (х) уменьшится или увеличится на такую же величину (хо):

В,(х-хо)/ = 2Х В,хо/ = -_ хоВ,/ = -_ И/ И/ И/ х И/ х°"

то есть средняя уменьшилась на постоянное число х0.

7. Если частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо постоянное число (к), то средняя не изменится:

- Вхк/ кУх/ Ух/ -2Ж / £ /

то есть значение средней не изменилось.

8. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты:

XI / = £X/.

Это равенство вытекает из определяющей свойства средней арифметической, согласно которой, сравнивая варианты, предоставляя им одинаковые значения путем замены их средним значением, неизменным остается общий объем признака.

9. Общая средняя равна средней из частных средних, взвешенных по численности соответствующих частей (групп) совокупности:

Изложенные выше свойства средней арифметической позволяют упростить ее расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, полученную разницу разделить на величину интервала, а затем вычисленную среднюю умножить на величину интервала и добавить произвольную постоянную величину, которая принята за начало отсчета.

Формула вычисления средней арифметической упрощенным способом имеет такой вид:

где х = --уменьшена средняя арифметическая;

ф

х= х к° - отклонения в интервалах; х0 - начало отсчета;

к - величина интервала.

Средняя х с значение - называется моментом первого порядка, а к способ вычисления средней способом моментов или способом отсчета от условного начала.

За условное начало отсчета (х0) обычно принимают одно из значений варіючої признаки, которое, как правило, находится в центре ряда распределения или такое, которое имеет наибольшую частоту.

Рассмотрим пример определения средней арифметической в интервальном ряду распределения способом моментов, используя данные о распределении 100 хозяйств по надою молока на корову (табл. 4.7).

За условное начало отсчета (х0) возьмем одно из значений интервала, расположенного в центре ряда распределения и которое имеет наибольшую частоту. В нашей задаче таким значением х0 = 33 ц. Величина интервала к = 2 ц.

По данным таблицы определим условную (уменьшенную) среднюю арифметическую:

Таблица 4.7. Данные для расчета средней арифметической в интервальном ряду распределения способом моментов

Чтобы получить действительную среднюю продуктивность коров, необходимо внести соответствующие поправки:

Таким образом получен такой же результат как и по данным табл. 4.2. Результаты расчетов средней арифметической двумя способами полностью совпали.