Законы распределения выборочных характеристик
Под законом распределения следует понимать такой теоретический раздел к которому направляется эмпирическое распределение при п -" со.
В статистике широко используются различные виды теоретических распределений, среди которых классическими считаются нормальное, біноміальне и пуассонове. Среди названных законов распределения, на котором основывается большинство статистических методов исследования, является закон нормального распределения.
Отдельные законы связаны с характером распределения отдельных случайных величин и применяются для решения конкретных задач. Эти законы носят имена ученых, которые их открыли. Среди них в статистической науке и практике наиболее широкое применение получили законы распределения Стьюдента, Пирсона и Фишера-Снедекора.
Каждый из законов распределения имеет свою специфику и область применения в различных отраслях знания.
Законы распределения используются в основном для решения задач, связанных с оценкой параметров генеральной совокупности и проверки статистических гипотез.
Рассмотрим законы распределения, что получили в статистическом анализе наибольшее применение.
Нормальное распределение
Большинство социально-экономических и природных явлений подчинено закону нормального распределения. Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действует вместе. Если ни одна из случайно действующих причин за своим действием не окажется преобладающей над другими, то закон распределения очень близко подходит к нормальному.
Такая закономерность проявляется, например, в распределении отклонений в производственном процессе при нормальном уровне организации и технологии, в распределении населения определенного возраста по размеру обуви, одежды и во многих других случаях.
Нормальное распределение является симметричным распределением, в котором большинство значений случайной величины концентрируется вокруг средней величины, его особенностью является то, что чем больше значение отдельных вариант отклоняются от средней величины, тем реже они встречаются и тем меньше вероятность их появления. И наоборот, чем ближе варианты до среднего значения, тем чаще они встречаются и тем больше вероятность их появления. Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной х от средней равно вероятны.
Вероятность отклонений выборочных средних от генеральной средней (~ - х) при большом числе наблюдений (п -"со) определяется законом нормального распределения Лапласа-Гаусса.
Нормальным распределением называют распределение непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
где Ф(х) - плотность вероятности (ордината кривой); ст0 - среднее квадратическое отклонение генеральной средней, которое в практических расчетах заменяется выборочным ст; к = 3,14 ... (постоянная величина, которая характеризует отношение длины окружности к длине его диаметра); е = 2,718... - основание натуральных логарифмов (число Эйлера).
Как видно, нормальное распределение определяется двумя параметрами: средним арифметическим и средним квадратичным отклонением. Зная эти параметры, можно построить кривую нормального распределения.
Конечно в данной формуле заменяется на и, где отклонения представлены в долях среднего квадратичного отклонения, приравненного к единице. Благодаря нормированию, дисперсия и = 1, а х = 0.
Уравнение нормальной кривой при такой замене принимает вид:
Его называют стандартным уравнением нормальной кривой, а нормальную кривую - нормированной кривой. При ее построении по эмпирическим данным применяют такую формулу
где в - ордината кривой (теоретическая частота); Ь - величина интервала; п - численность совокупности; ег - среднее квадратическое отклонение; /(и) - функция плотности нормального распределения.
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Кривая нормального распределения вероятностей
Эта дзвоноподібна кривая симметрична относительно оси ординат и асимптотически приближается к оси абсцисс. Кривая имеет точки перегиба при и = ±1, то есть при таких отклонениях значений признака от средней арифметической, которые равны одному среднем квадратичном отклонению. Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, равна единице. Значение плотности вероятности Ф(х) зависит только от величины нормированного отклонения и, так как я и е - постоянные величины. Так, при и = 0 сомножитель е 2 = 1 и плотность вероятности максимальна Ф(0) = 0,3989. Мере роста и плотность вероятности уменьшается.
Для нахождения значений интеграла вероятностей при заданном и составлены специальные таблицы (прил. 2), по которым можно определить значение и при заданном уровне вероятности Р и значения вероятности Р при известном и.
Теоретические значения и и Р, вычисленные на основе стандартного уравнения нормальной кривой, используются в математической статистике, в частности, в выборочном методе, как нормативы (критерии), с помощью которых проводится оценка выборочных характеристик. В связи с этим нормированное отклонение кривой нормального распределения получило название и - критерия распределения нормальной кривой.
