Показатели ряда динамики

Одной из важных задач анализа рядов динамики является изучение особенностей развития изучаемых явлений за отдельные периоды. Для выявления направления и интенсивности изменений изучаемых общественных явлений за определенные периоды времени определяют систему абсолютных и относительных показателей динамики. К таким показателям относятся абсолютный прирост, темп (коэффициент) роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста и средние показатели ряда динамики (средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и др.).

Показатели абсолютного прироста, темпа роста и прироста, а также абсолютное значение одного процента прироста получают сравнивая между собой исходные уровни ряда динамики. При этом уровень, с которым сравнивают, называют базисным,а сравнительный - текущим уровнем.

Если сравнению подлежат несколько последовательных уровней, то возможны два варианта сравнения:

1) каждый уровень исходного ряда динамики сопоставляют с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения. Чаще всего за базу сравнения берется или начальный (первый) уровень, или уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Выбор базы сравнения должен быть обоснован исторически и экономически. Такое сравнение получило название сравнение с постоянной базой;

2) каждый уровень исходного ряда динамики сравнивается с непосредственно ему предшествующим уровнем. Такое сравнение .називають сравнением с переменной базой.

Согласно этих двух вариантов сравнения получают две системы показателей ряда динамики. При сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, получают базисные показатели; при сравнении каждого уровня с непосредственно ему предшествующим уровнем получают цепные показатели.

Для характеристики абсолютной скорости роста (снижения) уровней ряда динамики исчисляют показатель абсолютного прироста (А).

Абсолютный прирост представляет собой разницу между двумя уровнями, один из которых взят за базу сравнения.

Он показывает, на сколько единиц каждый данный уровень отличается от

уровня, взятого за базу сравнения. Абсолютный прирост может иметь положительный или отрицательный знак. Если следующий уровень ряда динамики больше предыдущего, то абсолютный прирост будет иметь знак "плюс", если меньше - знак "минус".

Динамический ряд абсолютных приростов дает возможность определить направление (рост, снижение) динамики исследуемого явления. Кроме того, сравнением абсолютных приростов между собой можно установить характер рост или снижение в абсолютном выражении (равномерное, ускоренное, скачкообразный и др.).

Рассмотрим порядок вычисления абсолютных приростов и других показателей динамики по данным о динамике поголовья коров в хозяйствах района за 2005-2010 гг. (табл. 10.3).

Абсолютные приросты составят:

основные (до 2005 г.)

Аи = уі -уо = 16875 - 16200 = 675 гол.;

А = у2 - Уо = 17121 - 16200 = 921 гол. и т. д.;

продолжение (к предыдущему году)

А1 = у! - по = 16875 - 16200 = 675 гол.;

А2 = у2 - уи = 17121 - 16875 = 246 гл. и т.д.;

Таблица 10.3. Показатели динамики поголовья коров в хозяйствах района за 2005 - 2010 гг.

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой таким равенством: сумма цепных приростов равна соответствующему базисному приросту, т.е. общему приросту за весь соответствующий период времени.

Для данного примера:

2160 = 675 + 246 + 445 + (- 483) + 1277.

Темп (коэффициент) роста (К) - это отношение двух уровней, один из которых взят за базу сравнения.

Темп роста характеризует относительную скорость изменения явления и показывает во сколько раз каждый данный уровень больше или меньше уровня, который взят за базу сравнения. Он может быть выражен в виде коэффициентов или процентов. Темп роста, выраженный в процентах, называют процентом роста.

Величина темпа роста будет больше единицы, если уровень относительно базы сравнения растет, и меньше единицы, если уровень относительно базы сравнения уменьшается.

Темпы (коэффициенты) роста для нашего примера составят:

базисные: к1 = Уі: у0 = 16875:16200 = 1,0417;

К2 = У2: Уо = 17121:16200 = 1,0568 и т.д.; цепные: К1 = у1: у0 = 16875:16200 = 1,0417;

К2 = у2: И = 17121:16875 = 1,0146 и т.д. Между цепными и базисными темпами роста, выраженными коэффициентами, есть такая взаимосвязь:

а) произведение цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за соответствующий период. Например:

ту ту ту - _

Для нашего примера

1,1333 = 1,0417 o 1,0146 o 1,0260 o 0,9725 o 1,0747.

б) частное от деления двух соседних базисных коэффициентов роста равно соответствующему цепному коэффициенту роста.

Например, К2 : К1 = : =

" В 0 Л

Эта взаимосвязь позволяет осуществлять переход от цепных коэффициентов роста к базисным и наоборот. Для нашего примера:

К2 = 1,0568:1,0417 = 1,0146; К3 = 1,0843: 1,0568 = 1,0260 и т.д.

Наряду с темпами роста относительное изменение явления во времени может быть также охарактеризована с помощью темпов прироста которые представляют собой отношение абсолютного прироста к уровню, взятому за базу сравнения (Т).

Темп прироста, как и абсолютный прирост может быть как положительным, так и отрицательным числом (соответственно при росте и снижении уровня) и выражается в виде коэффициентов или процентов. На практике темпы прироста чаще всего выражаются в форме процентов.

Они показывают насколько процентов увеличился или уменьшился текущий уровень по сравнению с базисным, принятым за 100%.

Определим для нашего примера темпы прироста (в %): Т = (4 : у0)-100% = (675 : 16200)-100 = 4,17;

базисные:

Тг = (Аг: у0) -100% = (921:16200) -100 = 5,68 и т.д Т1 = (А1 : у0) -100% = (675:16200) -100 = 4,17;

продолжение

Тг = (Аг: у0)-100% = (246:16875)-100 = 1,46 и т . д.

Между темпом роста и темпом прироста существует связь:

или

Те = (Кі -100%) -100%, то есть темп прироста всегда на единицу меньше соответствующего темпа роста, выраженного в форме коэффициента, или на 100%, если его выражено в процентах.

Итак, чтобы определить темп прироста, нужно от темпа роста вычесть единицу, если его выражено коэффициентом, или 100%, когда он в процентах.

Для динамического ряда поголовье коров темпы прироста, рассчитанные этим способом, составят:

Т1 = А; o 100% - 100% = 1,0417-100% - 100% = 4,17%;

Т2 = А; o 100% - 1005 = 1,0568-100% - 100% = 5,68% и т.д.

Наряду с показателями темпов роста и прироста в анализе динамических рядов вызывает интерес еще один относительный показатель, который позволяет определить значимость каждого процента прироста, и то, какая абсолютная величина скрывается за этим процентом. Таким показателем является абсолютное значение одного процента прироста (П). Он вычисляется как отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста, выраженному в процентах

Расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе, поскольку на базисной основе во всех временных отрезках будет получено одно и то же значение показателя - сотая часть начального (первого) уровня.

Абсолютное значение одного процента прироста для нашего примера составит:

Этот показатель можно вычислить значительно проще. Подставив в формулу значения соответствующих показателей, получим, что величина абсолютного значения одного процента прироста представляет собой сотую часть предыдущего уровня:

Таким образом, не вдаваясь в специальный расчета, можно определить, что абсолютное значение одного процента прироста для соответствующих временных отрезков составит:

П = у0 : 100 = 16200 : 100 = 162,0 гол.;

П2 = уі : 100 = 16875 : 100 = 168,7 гл. и т.д.

Этот показатель имеет важное практическое значение в экономическом анализе, поскольку темпы роста могут замедляться или оставаться на одном уровне, а абсолютное значение одного процента прироста расти. Конечно такая закономерность наблюдается в динамических рядах с уровнями, которые постоянно растут.

Следует отметить, что в динамических рядах относительных величин (процентов роста и прироста) их непосредственное сравнение можно осуществлять только путем определения разности уровней. Эти различия получили название пунктов рост. их рассчитывают как разницу базисных процентов роста или прироста двух смежных периодов. В отличие от темпов прироста, которые нельзя суммировать и перемножать, пункты роста можно суммировать, в результате чего получим темп прироста соответствующего периода по сравнению с базисным периодом.

Пункты роста для нашего примера составят:

для 2007 г. ІГР1 = Т2 - Т1= 5,68 - 4,17 = 1,51%;

для 2008 г. ПР2 = Т3 - Т2 = 8,43 - 5,88 = 2,75% и т.д.

Контроль правильности расчетов: сумма пунктов роста равна общему темпу прироста за весь период:

4,17 + 1,51 + 2,75 + (- 2,98) + 7,88 = 13,33%.

Это соответствует темпу прироста уровня 2010 г. по сравнению с 2005 г.

Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений определяются различного рода средние величины: средний уровень динамического ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и др. Среднюю из уровней динамического ряда называют хронологической средней. Средний уровень ряда динамики характеризует типичный размер уровней ряда.

Порядок расчета среднего уровня для интервальных и моментных рядов динамики отличается. В интервальных рядах динамики с равноудаленными друг от друга уровнями средний уровень вычисляется по формуле средней арифметической простой:

где п - число уровней ряда динамики.

Средний уровень динамического ряда для нашего примера (табл. 10.3) составит:

Если интервальный ряд динамики имеет нерівновіддалені друг от друга уровни, то средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

где и - отрезок времени, в течение которого сохранялось данное значение уровня в.

Например, средняя численность работников агрофирмы за первое полугодие составляла 500 человек, за третий квартал - 520,а четвертый - 515 человек. Отсюда среднегодовая численность работников составит:

В моментных динамических рядах с равными промежутками между датами средний уровень исчисляется по формуле:

где п - число уровней ряда динамики.

Применение формулы проиллюстрируем на данных о списочную численность работников предприятия за 2010 г. (табл. 10.4). Среднегодовая численность работников предприятия составит:

В моментных динамических рядах с неравными промежутками между датами средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. путем взвешивания уровней по количеству равных периодов:

Порядок исчисления среднего уровня моментного ряда динамики представлены в табл. 10.4.

Таблица 10.4. Динамика численности работников предприятия в июле 2010 г.

Итак, средняя численность работников предприятия в июле 2010 г. составит:

Средний абсолютный прирост характеризует среднюю скорость роста (или снижения) уровня. Для моментных и интервальных рядов динамики с равными промежутками между датами его вычисляют как среднюю арифметическую простую из цепных абсолютных приростов или как разницу между конечным и начальным уровнем, поделенную на количество членов ряда, уменьшенных на единицу:

где п - число абсолютных приростов;

п - 1 - количество уровней ряда динамики, уменьшенных на единицу.

Средний абсолютный прирост ряда динамики поголовья коров (табл. 10.3) составит:

Для обобщающей характеристики темпов роста за ряд лет исчисляют средний темп (коэффициент) роста (К). Он показывает во сколько раз в среднем каждый данный уровень ряда больше (или меньше) предыдущего уровня. Для динамических рядов с равными промежутками между датами средний темп роста исчисляется по формуле средней геометрической:

где К - коэффициенты роста за отдельные периоды времени; п - число коэффициентов роста.

Средний коэффициент роста может быть определен по другой формуле, что следует из приведенной выше формулы:

где п - число уровней ряда динамики;

Уо и уп - начальный и конечный уровни ряда динамики

На основе среднего темпа роста можно определить средний темп прироста (Т ). Он показывает, на сколько процентов в среднем увеличивается (или уменьшается) данный уровень по сравнению с предыдущим. Его рассчитывают как разность между средним темпом роста, выраженным в процентах и 100%:

По данным табл. 10.3 рассчитаем средний коэффициент роста поголовья коров за 2005 - 2010 гг. Для этого используем формулу средней геометрической

По таблицам антилогаріфмів найдем средний коэффициент роста: К = 1,025, или 102,5%.

Такой же результат получим и по другой (более удобной) формуле, которая вытекает из взаимосвязи цепных и базисных коэффициентов: произведение цепных коэффициентов равно базисному крайних периодов

Прологарифмуємо уравнения:

По таблицам антилогаріфмів найдем средний коэффициент роста: К = 1,025, или 102,5%.

Такой же результат получим и по другой формуле:

или 102,5%.

Вычислив систему показателей по ряду динамики поголовья коров (табл. 10.3). можно сделать такие выводы. Исследуемый ряд динамики является интервальным. Среднее поголовье коров за год в хозяйствах района составляет 17201 гол. Ежегодно оно росло в среднем на 432 головы. В целом же поголовье коров за исследуемый период (2005 - 2010 гг.) в районе выросло на 2160 гол., или на 13,33%. По средним коэффициентом роста можно установить, что средний ежегодный темп роста поголовья коров составляет 2,5% (102,5 - 100). С ростом поголовья коров увеличивалось абсолютное значение одного процента прироста по 162,0 гол. в 2006 г до 170,8 гол. в 2010 г.

При сравнительном анализе нескольких рядов динамики, которые отображают различные экономические явления за одинаковые отрезки времени, определяют коэффициент опережения. Он показывает, во сколько раз быстрее растет уровень одного динамического ряда (г) в сравнении со вторым (/), то есть

Например, при сравнении темпов роста производительности труда и заработной платы, урожайности и посевных площадей, продуктивности животных и их численности и т.д.

Так, если за пятилетие (2005 - 2010 гг.) базисный темп роста производительности труда в хозяйствах района составил Т,- = 115,6%, а темп роста заработной платы - Т, = 108,7%, коэффициент опережения темпа роста производительности труда над темпом роста заработной платы равен: Квип = И : Т,- = 115,6 : 107,7 = 1,063, т.е. темп роста производительности труда опережал тем рост заработной платы в 1,063 раза.