Приемы выявления основной тенденции развития в рядах динамики

Для всесторонней характеристики изменения социально-экономических явлений во времени расчета только одних показателей динамики и их средних величин не достаточно. В связи с этим статистика предлагает ряд специальных приемов обработки и анализа динамических рядов.

Важное место в изучении развития общественных явлений принадлежит сравнительному анализу нескольких рядов динамики. При этом можно сравнивать динамические ряды как одноименных, так и разноименных показателей, касающихся различных территорий или являются составными частями целого. Абсолютные уровни таких рядов динамики, как правило, вследствие различий методики исчисления показателей, денежной оценки продукции и других причин непосредственно несопоставимы. Поэтому целесообразно сравнивать не абсолютные, а относительные показатели и по ним делать выводы о том, какое явление и на какой территории возрастает (или снижается) быстрее. Этот прием получил название приведение рядов динамики к одному основанию, т.е. к общей базе сравнения, которую принимают за единицу или сто процентов.

Суть этого приема заключается в том, что данные о величине изучаемого показателя за год (или другой отрезок времени), взятый за базу сравнения принимают равным 100%, а на уровне отдельных лет (или других отрезков времени) сравнивают с ним, а долю выражают в процентах.

Практическое применение приема приведение рядов динамики к одному основанию рассматривается в следующем параграфе раздела учебника, посвященном факторном анализе рядов динамики (табл. 10.13 и 10.14).

В тех случаях, когда уровни ряда динамики за одни годы несопоставимы с уровнями за другие годы в связи с территориальными, ведомственными, организационными изменениями, изменением методики исчисления показателей или по другим причинами и возникает потребность обеспечить сопоставимость уровней, прибегают к смыкания динамических рядов, т.е. объединение двух и более рядов в один сомкнутый ряд.

Суть этого приема заключается в следующем. Уровне года, в течение которого произошли изменения, как до изменений, так и после изменений, берут за базу сравнения (обычно за 100%), остальные сравниваются с ним и выражают в процентах. В результате этого получим единый ряд относительных величин, характеризует изменение исследуемого явления за весь период.

Допустим, есть данные за 2004 - 2010 гг. по посевной площади картофеля в хозяйствах района, в территориальных границах которого в 2007 г. произошли изменения (табл. 10.5).

Анализ таблицы показывает, что в связи с изменением границ района в 2007 г. данные о посевную площадь картофеля за 2008 - 2010 гг. несопоставимы с данными за 2004 - 2006 гг. Чтобы иметь сопоставимые данные, выполним смыкания этих рядов динамики.

Таблица 10.5. Динамика посевной площади картофеля в хозяйствах района за 2004 - 2010 гг., га

Смыкания рядов динамики и сведение их к сопоставимому виду осуществим двумя способами:

а) выражением ряда динамики в относительных показателях, приняв за базу сравнения один и тот же период;

б) пересчетом абсолютных показателей.

Смыкания рядов способом выражения рядов относительными показателями динамики выполним так. Возьмем год, в котором произошли территориальные изменения (в нашем примере это 2007 г.) за базу сравнения или 100%, а остальное уровней сравним с этим годом и полученные данные выразим в процентах. Следовательно, за 100% для первого ряда динамики (2004 - 2007 гг.) будет принята величина посевной площади картофеля, что составляет 2430 га, а для второго ряда динамики (2007 -2010 гг.) - 2686 га.

Так, например, относительный показатель динамики посевной площади в 2001 г. по сравнению с 2007 г. составит 86,4% [(2100 :2430>100], в 2010 г. по сравнению с 2007 г, - 106,5% [(2861 : 2686) -100] и т.д.

в Результате получим ряды относительных показателей динамики посевной площади картофеля с одинаковой базой сравнения, которые можно заменить одним сомкнутым рядом.

Смыкания рядов динамики способом пересчета абсолютных показателей осуществлен с помощью коэффициента пересчета (Кп), который определим как отношение двух уровней посевной площади после изменения границ района к посевной площади перед этим изменением:

Перемножив посевную площадь картофеля первого ряда динамики (2004-2006гг.) на коэффициент пересчета, получим данные, которые сопоставлены с данными о посевную площадь картофеля второго ряда динамики ( 2008 - 2010гг.). Так, в 2004 г. посевная площадь картофеля в сопоставимом показателе равна 2320 га (2100-1,105), в 2005 г. - 2440 га (2208-1,105) и т.д.

Все расчеты с приведения рядов динамики к сопоставимому виду сведем в табл. 10.6.

Таблица 10.6. Сомкнутые ряды относительных и абсолютных изменений посевной площади картофеля в хозяйствах района за 2001 - 2010 гг.

Добытые сомкнутые ряды динамики позволяют сделать данные о посевную площадь картофеля за разные годы сопоставимыми, из них видно, что посевная площадь картофеля в районе как в абсолютных, так и в относительных показателях систематически росла.

Под влиянием случайных факторов (в сельскохозяйственном производстве к ним относят прежде всего метеорологические условия) уровни ряда динамики часто сильно колеблются по периодам времени, при этом тенденция развития затушевывается, наглядно не проявляется. В связи с этим одной из основных задач анализа рядов динамики является выявление основной тенденции развития социально-экономических явлений. Под общей тенденцией динамического ряда понимают тенденцию к росту, снижению или стабилизации уровня любого общественного явления.

Выявление тенденции в динамических рядах дает возможность оценить характер развития исследуемого явления, определить эффективность факторов, формирующих основную тенденцию, установить уровни исследуемого явления на перспективу.

Выявление основной тенденции изменения уровней динамического ряда предусматривает ее количественное выражение, в некоторой мере свободной от случайных причин. Это достигается путем абстрагирования от индивидуальных, случайных изменений признаки. Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике также выравниванием временного ряда, а приемы выявления основной тенденции - приемами выравнивания. Выравнивание позволяет охарактеризовать особенности изменения во времени данного динамического ряда в наиболее общем виде как функцию времени, предполагая, что через время можно выразить влияние основных факторов.

В практике экономического анализа нередки случаи, когда общая тенденция явления к росту или снижению проявляется достаточно четко. Приведены данные о динамике поголовья коров (табл. 10.3) показывают, что в динамическом ряду имеет место общая тенденция к росту поголовья коров. Однако для выявления тенденции в рядах динамики не достаточно одного визуального анализа ряда, если его уровне за любые объективные или случайные причины существенно колеблются, то возрастая, то снижаясь. Это затушевывает, наглядно не проявляет основную тенденцию развития явления. Например, если урожайность любой сельскохозяйственной культуры под влиянием метеорологических условий, действующих в разных направлениях, очень колеблется по годам, то основная тенденция изменения урожайности может не проявляться непосредственно. В таких случаях для проявления основной тенденции нужно прибегнуть к специальным приемам обработки динамических рядов.

К таким приемам относятся укрупнение периодов, сглаживание ряда динамики способом скользящей средней, выравнивание ряда динамики по среднему абсолютному приросту, среднему коэффициенту роста и способа наименьших квадратов (аналитическое выравнивание рядов динамики).

Рассмотрим на конкретных примерах условия и технику выявления основной тенденции развития динамических рядов каждым из названных приемов.

Одним из самых простых приемов выявления тенденции развития является прием укрупнения периодов. Суть его заключается в том, что абсолютные или средние уровни ряда динамики за короткие интервалы времени (год, месяц, декаду, день и т.д.), испытывающих случайных колебаний, заменяющих обобщающим (обычно средним) значением за более длительный период (трехлетие, пятилетие и т.д.).

По сути способом укрупнения периодов представляет собой типологическое группирование уровней ряда динамики, поэтому при его применении необходимо придерживаться научных основ построения статистических группировок.

При укрупнении периодов очень важно научно обоснованно и правильно выделить периоды времени для укрупнения. Периоды, что их выделяют, должны быть однородными в качественном отношении и достаточно длительными по времени, чтобы произошло погашение случайных колебаний явления.

Применение этого приема, как правило, связывается с использованием равных по продолжительности периодов. Однако продолжительность периодов может быть различной. Выделение неравных периодов предопределяется наличием качественных специфических периодов в развитии того или иного социально-экономического явления.

Покажем порядок расчета укрупненных периодов, используя данные об урожайности подсолнечника за 15 лет (табл. 10.7).

Таблица 10.7. Динамика урожайности подсолнечника в ООО района за 1996 - 2010 гг.

Обоснуем продолжительность укрупненных периодов для нашего примера. Анализ исходного ряда динамики показывает, что каких-либо качественных периодов или периодических колебаний внутри динамического ряда урожайности за исследуемый период не наблюдается.

Как показывает анализ исходного ряда динамики, урожайность в хозяйствах района изменяется постепенно, тенденция ее изменения затушевывается в отдельные годы главным образом метеорологическими условиями. Поскольку влияние метеорологических условий для исследуемой зоны в большинстве случаев выравнивается по пятилетних периодах, укрупнение осуществлено по п'ятиріччях. Благодаря такому укрупнению взаємопогасяться случайные факторы и окажется общая тенденция изменения урожайности.

Чтобы получить средние уровни по п'ятиріччях, сначала найдем суммы урожайности за каждое пятилетие (1996 - 2000 гг., 2001 - 2005гг., 2006 - 2010 гг.), а потом добытые суммы делим на количество лет в укрупненном периоде (пять).

Найденные суммы и средние запишем центруючи их на середину каждого пятилетия (соответственно в 1998 г., 2003 г. и 2008 г.).

В результате проведенного укрупнения периодов ряда динамики четче проявляется тенденция роста урожайности за годы, анализируются. Так, добытые результаты показывают, что от пятилетия к пятилетию урожайность подсолнечника в TOB района систематически возрастала (с 12,2 ц/га в 1996 - 2000 гг. до 17,0 ц/га в 2006 - 2010 гг., то есть на 4,8 ц/га, или на 39,3%).

При укрупнении периодов число членов динамического ряда очень сокращается. Этот существенный недостаток в значительной мере устраняется при использовании приема выравнивания динамических рядов способом скользящих средних.

Этот способ также основан на укрупнении периодов. Суть расчета скользящих средних заключается в том, что состав периода непрерывно и постоянно меняется - происходит сдвиг на одну дату при сохранении постоянного интервала периода (трехлетие, пятилетие и т.д.).

Скользящая средняя - это средняя укрупненных периодов, созданных последовательным исключением каждого начального уровня интервала и замены его очередным последующим уровнем ряда. Таким образом, происходит как бы скольжение периода и полученной средней по динамическому ряду. Например, при згладжувані по триріччях

Этот прием, как и предыдущий, основывается на известном теоретическом положении о том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения и оказывается типичное, закономерное.

При выявлении тенденции приемом скользящих средних, так же как и при использовании приема укрупнения периодов, одним из важных вопросов является вопрос о продолжительности периодов. Интервал должен быть достаточно большим и обеспечить взаимное погашение случайных отклонений уровней. Если в развитии явления имеет место цикличность (периодичность), то интервал скольжения следует принимать равным длительности цикла. Чем дольше интервал скольжения, тем в большей степени выравнивается ряд в результате усреднения исходных уровней.

Покажем порядок расчета скользящих средних, используя данные об урожайности подсолнечника (табл. 10.7).

Скользящие средние рассчитаем также по пятилетним периодам. Для расчета скользящих средних подытожим урожайность за первые пять лет (1996 - 2000 гг.). а затем, опуская данные первого в ряду динамики года, подытожим урожайность за следующее пятилетие (1997 - 2001 гг.) и т.д. Происходит как бы скольжение по ряду динамики. Добытые суммы разделим на число лет в периоде скольжения (пять), а вычисленную среднюю отнесем к середине периода скольжения (в нашем примере третий год каждого пятилетнего периода скольжения).

Рассчитаны скользящие средние показывают устойчивую тенденцию роста урожайности подсолнечника в TOB района.

Скользящая средняя сглаживает вариацию уровней, но не дает ряда динамики, в котором все выходные уровни были бы заменены выровненными. Это объясняется недостатком выравнивание ряда способом скользящей средней, при котором выровненный ряд "сокращается" по сравнению с исходным на (n - rm):2 члена с одного и второго конца (под п понимают число членов, из которых определяют скользящие средние).

Стремление в процессе выравнивания ряда заменить все выходные уровни заголовков обуславливает применение более совершенных приемов выравнивания рядов динамики. К таким приемам относятся: выравнивание по среднему абсолютному приросту, среднему коэффициенту роста и способа наименьших квадратов.

В основе применения способа выравнивания ряда динамики по среднему абсолютному приросту лежит предположение, что каждый следующий уровень изменяется по сравнению с предыдущим примерно на одинаковую величину, равную среднему абсолютному приросту.

Уравнения, отражает тенденцию развития явления за этим способом выравнивания ряда динамики имеет вид:

где - выровненные уровни ряда динамики;

у0 - начальный уровень ряда динамики;

А - средний абсолютный прирост;

и - порядковый номер даты (и = 1,2,3,...,п).

Технику выявления тенденции на основе среднего абсолютного прироста рассмотрим на примере динамического ряда посевной площади сахарной свеклы (табл. 10.8).

Анализ ряда динамики показывает, что для него характерно постоянное увеличение посевной площади сахарной свеклы. При этом ежегодные абсолютные приросты посевной площади стабильны и составляют около 10 га. Наиболее приемлемым способом выравнивания рядов динамики, которые имеют постоянные абсолютные приросты, является способ выравнивания рядов по среднему абсолютному приросту.

Таблица 10.8. Динамика посевной площади сахарной свеклы в хозяйстве за 2005 - 2010 гг.

Определим средний абсолютный прирост посевной площади:

где у0 - начальный уровень ряда динамики ;

уп - конечный уровень ряда динамики ;

п - число уровней ряда динамики (п = 6 лет).

Итак, посевная площадь сахарной свеклы ежегодно увеличивалась в среднем на 10 га.

Определим выровнены по среднему абсолютному приросту значения посевной площади для каждого года, подставляя в уравнение вместо и значение:

где и - порядковый номер года (i = 0,1,2,3,4,5). Выровненные значения посевной площади составят:

в 2005 г. (при и = 0) у = у0 + Ли, = 250 + 10-0 = 250 га;

в 2006 г. (при t = 1~t = y0 + At,= 250 + 10-1 = 260 rai т.д. Выравнивание по среднему абсолютному приросту ряд динамики на графике представляет собой прямую линию, которая соединяет минимальное и максимальное значение. Как видно из таблицы, отклонения фактических уровней от выровненных незначительные. Итак, выравнивание ряда динамики по среднему абсолютному приросту позволило точнее отразить тенденцию изменения посевной площади сахарной свеклы в хозяйстве.

в то же Время необходимо отметить, что теоретическая линия, которая выравнивает ряд динамики, целиком зависит только от двух крайних значений уровней ряда динамики (начального и конечного), которые могут существенно изменяться под влиянием случайных колебаний. В соответствии тенденция, которая действительно имеет место в исследуемом явлении, будет искажена. В связи с этим прием выравнивания рядов динамики по среднему абсолютному приросту целесообразно использовать только для рядов, имеющих стабильные ежегодные абсолютные приросты. Практически этот прием используется в динамических рядах, которые охватывают непродолжительный период времени, в течение которого не происходит существенных качественных изменений в уровнях факторов, определяющих тенденцию, и степени их влияния на изучаемый признак.

Выравнивание ряда динамики по среднему коэффициенту роста применяется в тех случаях, когда в исследуемом ряду каждый следующий уровень изменяется по сравнению с предыдущим примерно в одно и то же количество раз, равное величине среднего коэффициента роста, то есть когда факторы, определяющие основную тенденцию обусловливают от периода к периоду одинаковые коэффициенты роста исследуемого явления.

Выровненные значения уровней ряда динамики определяют по формуле:

где к - средний коэффициент роста.

Порядок выравнивания по среднему коэффициенту роста рассмотрим на примере динамики фондозабезпеченості (табл. 10.9).

Таблица 10.9. Динамика стоимости основных производственных фондов животноводства в ООО за 2005 - 2010 гг.

Анализ динамического ряда показывает, что абсолютные приросты увеличиваются от 9 - 10 тыс. грн. в первые годы до 12 тыс. грн. в последние годы, а коэффициенты роста остаются примерно одинаковыми и составляют 1,06 - 1,07. Следовательно, для данного динамического ряда характерно увеличение каждого следующего уровня по сравнению с предыдущим в то же количество раз, равное величине среднего коэффициента роста. Поэтому данный ряд динамики целесообразно выравнивать по среднему коэффициенту роста.

Определим средний коэффициент роста фондозабезпеченості по формуле:

По таблицам антилогарифмів установим значение к = 1,06.

Итак, фондозабезпеченість хозяйства ежегодно в среднем росла в 1,06 раза, или на 6,0%.

Вычислим выровненные по среднему коэффициенту роста значения фондозабезпеченості:

в 2005 г. (при X = 0) = у0 ■ к' = 160-1,06° = 160 тыс. грн;

в 2006 г. (при X = 1) у, = у0 ■ к' = 160-1,061 = 170 тыс. грн и т.д.

Следует иметь в виду, что при определении выровненных значений уровней ряда динамики по среднему коэффициенту роста, так же как и при выравнивании по среднему абсолютному приросту, в исходном и выровненном рядах динамики начальные и конечные уровни совпадают.

Выравнивание по среднему коэффициенту роста ряд динамики представляет собой показникову кривую. Этому способу выравнивания рядов динамики присущ тот же недостаток, что и выравниванию по среднему абсолютному приросту. Здесь при определении выровненных значений используются только два крайних уровни динамического ряда (начальный и конечный), которые вследствие влияния случайных факторов могут быть нехарактерными для исследуемого общественного явления.

более Совершенным и точным приемом выравнивания рядов динамики, который учитывает все уровни исходного ряда является аналитическое выравнивание по способу наименьших квадратов.

Выравнивание по этому способу основывается на предположении, что изменения исследуемого ряда динамики могут быть приближенно выражены определенным математическим уравнением (апроксимуючою функцией), по которым и определяют выровненные уровни динамического ряда. Другими словами, уровни ряда динамики рассматриваются как функция времени у1 = /(') , где у1 - уровни динамического ряда, определяемые по соответствующим уравнению на момент времени '.

Аналитическое выравнивание можно провести с использованием различных типов функций: прямой линии, параболы второго порядка, показательной кривой (экспоненты), гиперболы и т.д.

Уравнение, выражающее уровни ряда динамики как некоторую функцию времени t, называют трендом. Понятие об уравнении тенденции было введено в статистику английским ученым Гукером в 1902 г. Он предложил называть такое уравнение трендом (the trend).

Суть аналитического выравнивания динамических рядов заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются рядом уровней, которые меняются плавно (теоретическими уровнями), вычисленными на основе определенной кривой, выбранной в предположении, что она наиболее точно отражает общую тенденцию изменения исследуемого социально-экономического явления во времени.

Подбор наиболее подходящей функции является важным и ответственным заданием, от которого в конечном итоге зависят результаты выравнивания. В основе его решения должен быть содержательный теоретический анализ существенности изучаемого явления и законы его развития. Надо подобрать такую кривую, которая бы максимально близко проходила в фактических уровней. Добиться этого можно при условии, что сумма квадратов отклонений фактических уровней (у ) от рассчитанных по уравнению (~(), будет минимальной В(в -~()2 = min.

В практике экономических исследований чаще всего применяют такой подход: подбирают несколько уравнений, определяют их параметры, а затем отдают предпочтение тому, у которого В/у ~Л )2 и коэффициент вариации самые маленькие.

Приближенно обосновать уравнения, отражающего основную тенденцию, можно с помощью построения графика (линейной диаграммы).

Выравнивание динамических рядов способом наименьших квадратов, как и выравнивание с помощью других приемов, должно осуществляться в пределах равнокачественных периодов. Если в динамическом ряду является качественно специфические периоды, то проявлять тенденцию целесообразно в пределах каждого из них.

в Зависимости от исходных данных для выравнивания рядов динамики могут быть выбраны различные типы кривых или прямая линия. Анализ динамики социально-экономических явлений показывает, что их изменение сопровождается постоянными растущими и ниспадающими абсолютными приростами, постоянными темпами роста и прироста, ускорением или замедлением, то есть их выравнивание следует проводить по уравнению прямой линии, парболи второго порядка или показательной кривой.

Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систематические факторы на уровни ряда динамики, а отклонения фактических уровней от выровненных характеризует вариацию уровней, вызванное индивидуальными особенностями каждого периода. Случайная (остаточная) вариация в рядах динамики может быть измерена способами, которыми измеряется обычная вариация, например с помощью остаточного среднего квадратического отклонения

или коэффициента вариации V = -100%.

Показатели вариации уровней динамических рядов могут быть использованы для оценки правильности выбора аппроксимирующей функции (уравнения) для выравнивания, а также сравнительной оценки устойчивости отдельных динамических рядов. Очевидно, что чем показатели вариации меньше, тем выравнивание осуществлено точнее, а ряды динамики устойчивы.

Выравнивание динамических рядов по уравнению прямой линии целесообразно проводить тогда, когда для эмпирического ряда характерны более или менее постоянные цепные абсолютные приросты, то есть тогда, когда уровни ряда изменяются приблизительно в арифметической прогрессии.

Относительно рядов динамики аналитическое уравнение прямой линии имеет вид:

где уг - выровненные значения уровней динамического ряда;

г - время, т.е. порядковые номера периодов;

а0 и а1 - параметры уравнения искомой прямой;

а0 - начало отсчета (экономического содержания не имеет);

а1 - коэффициент регрессии или пропорциональности, который показывает средний ежегодный прирост (снижения) изучаемого явления (тангенс угла наклона прямой линии к оси абсцисс).

Параметры а0 и а1 искомой прямой, удовлетворяющие требованию способа наименьших квадратов, находят решая следующую систему нормальных уравнений:

где п - число уровней ряда динамики.

Техника создания системы уравнений такая. Первое уравнение получают умножением всех членов исходного уравнения (~г = а0 + а1г) на коэффициент при а0 (на единицу) и суммирования найденных произведений. Чтобы иметь второе уравнение, все члены исходного уравнения необходимо умножить на коэффициент при а1 (г) и найденные произведения просуммировать. Аналогично строят систему нормальных уравнений и для других кривых (параболы второго порядка, гиперболы и т.д.).

Расчет параметров уравнения (а0 и а1 ) можно значительно упростить, если отсчет времени (г) проводить так, чтобы сумма показателей времени равнялась нулю X г = 0). Этого достигают так. Уровень, находящийся в середине ряда динамики, принимают за условное начало отсчета, или нулевое значение. Для того, чтобы сумма показателей времени равнялась нулю, условные обозначения дат нужно давать так.

При нечетном числе уровней ряда динамики для получения Xг = 0 уровень, находящийся в середине ряда, приравнивают к нулю, а уровни, расположенные выше его обозначают числами со знаком минус -1, -2, -3 и т.д., а ниже - числами со знаком плюс+1, +2, +3 и т. д.

При парном числе уровней ряда динамики уровни, лежащие выше срединного значения (оно находится в середине между двумя срединными датами), обозначаются натуральными числами со знаком минус- 1, - 3, - 5 и т.д., а уровни, лежащие ниже срединного значения - натуральными числами со знаком плюс +1, +3, +5 и т.д.

С условием, что Xи = 0, система нормальных уравнений упрощается и

Решая исходную систему нормальных уравнений способом определителей, параметры а0 и а1 можно вычислить по другим формулам, которые дают возможность получить более точные результаты за счет сведения к минимуму ошибки из-за округления в вычислениях параметров:

Следовательно, для определения параметров а0 и а1 необходимо иметь четыре суммы: Иу; Іуі; " /

Если Xi = 0, то тогда формулы для вычисления параметров а0 и а1, упрощаются, набирая такого вида:

Значение X можно вычислить по формуле:

При условии, что X г = 0, значение X г2 можно отыскать по формулам:

. . " 2 (п - 1)п(п +1) п(п -1) при парном числе уровней ^ г =---- = --

. . " 2 (п - 1)п(п +1) п(п -1) при нечетном числе уровней ^ г =-12-= -12-;

Для расчета параметров а0 и а1 можно пользоваться формулами:

Порядок выравнивания по уравнению прямой линии проиллюстрируем на примере ряда динамики урожайности подсолнечника (табл. 10.10).

Обоснуем выбор математического уравнения для выравнивания динамического ряда. Из данных таблицы видно, что рост урожайности происходит равномерно. Построение линейной диаграммы (см. рис. 10.1) показывает, что ломаная кривая по своей форме близка к прямой линии. Исходя из этого, целесообразнее этот ряд динамики выравнивание по уравнению прямой линии (линейного тренда):

Параметры а0 и а1 искомой прямой, которая удовлетворяет способа наименьших квадратов, найдем, решив следующую систему нормальных уравнений:

Итак, чтобы определить параметры уравнения, необходимо найти такие четыре суммы:Ху; Иуг; Иг; Хг2.

Все расчеты сведем в табл. 10.10.

Выравнивание динамического ряда проведем двумя способами - обычным и упрощенным (способом отсчета от условного начала),

способ.

Используя полученные величины, решим систему уравнений:

Таблица 10.10. Расчетные данные для аналитического выравнивания динамического ряда урожайности подсолнечника способом наименьших квадратов

Разделим оба уравнения на коэффициенты при а0 первое уравнение на 15, а второе - на 120, а затем вычтем из второго уравнения первое:

Отсюда а1 = 0,5279 = 0,53 ц/га.

Определим а0, подставив в одно из уравнений значения а1:

Параметры уравнения можно определить и по другим, более удобными, формулами:

Проверим правильность решения системы уравнений, исходя из равенства:

Таким образом, уравнение прямой линии, выравнивает ряд динамики имеет вид:

Коэффициент регрессии а1 = 0,53 ц/га показывает, что в среднем за исследуемый период урожайность подсолнечника ежегодно повышалась на 0,53 ц/га. Коэффициент а0 = 10,48 ц/га - значение выровненной урожайности для года в динамическом ряду, взятого за начало отсчета (2003 г., когда г = 0).

Подставляя в полученное уравнение значения (и= 1, 2,..., 15), получим выровненные (расчетные) значения урожайности. Например.

для 1998г. ~г=1 = 10,48 + 0,53 -1 = 11,0 ц/га;

для 1997г. ~г=2 = 10,48 + 0,53 o 2 = 11,5 ц/га и т.д.

Проверим правильность всех расчетов, сравнивая суммы фактической и выровненной урожайности:

II способ.

Для упрощения расчетов используем способ отсчета от условного начала. Выразим значения дат (г) в отклонениях от даты, взятой за условное начало (она находится в центре ряда динамики; г = 0 в 2003г.; табл., 10.10). Система уравнений упрощается, поскольку Хг = 0:

Параметры уравнения можно найти и за другими, приведенными в первом способе, формулами решение примера. их значения будут такими же.

Уравнение линейного тренда имеет вид:

у, = а0 + а1і = 14,69 + 0,53і.

Параметр а0 = 14,69 ц/га - значение выровненной урожайности для центрального в динамическом ряду года, взятого за начало отсчета. Для 2000 г. и = 0, тогда у1 = 14,69 + 0,53-0 = 14,69 ц/га. Параметр а0 равна средней урожайности в динамическом ряду в = £: п = 220,4:15 = 14,69 ц/га. Коэффициент регрессии а1 = 0,53 ц/га характеризует среднее ежегодное увеличение урожайности. Он имеет такое же значение и содержание, что и при выравнивании первым способом.

Выровненные (теоретические) уровни урожайности (у) вычисляют аналогично тому, как это было сделано в первом способе расчетов.

Чтобы оценить степень приближения линейного тренда к фактическим данным динамического ряда, рассчитаем остаточное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Для этого вычислим отклонения фактической урожайности от выровненной (у - уі), их квадраты (у - в )2 и их сумму £ (у - у1 )2 (гр.11 и 12 табл. 10.10).

Остаточное среднее квадратическое отклонение составит:

Итак, колебания фактической урожайности вокруг прямой линии в среднем составляет 1,04 ц/га, или 7,1%. Небольшой коэффициент вариации указывает на то, что уравнение прямой линии достаточно точно отражает тенденцию изменения урожайности во времени.

в то же Время анализ динамического ряда урожайности свидетельствует о том, что несмотря на значительное колебание урожайности по годам, четко прослеживается тенденция ее повышения и ускорения приростов в последние годы. Поэтому логично предположить, что исследуемый ряд динамики можно выравнивать по уравнению параболы второго порядка.

Выравнивание рядов динамики по параболой второго порядка осуществляется в тех случаях, когда изменение уровней ряда происходит примерно равномерным ускорением или замедлением цепных абсолютных приростов.

Уравнения параболы второго порядка характеризуется тремя параметрами:

где а2 - показатель ежегодного ускорение (или замедление, если а2 со знаком минус) абсолютного прироста уровней ряда.

Параметры параболы второго порядка аи и а2 находят из следующей системы нормальных уравнений:

При 2г = 0 и 2 г3 = 0 система уравнений значительно упрощается, приобретая такого вида:

Из этой системы а1 определяют элементарно из второго уравнения

а а0 и а1 из системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Таблица 10.11. Расчет данных для выравнивания динамического ряда урожайности подсолнечника за параболой второго порядка способом наименьших квадратов

Используя данные предыдущего примера о динамике урожайности подсолнечника за 1996 - 2010 гг. (табл. 10.10), проведем выравнивание ряда по уравнению параболы второго порядка способом наименьших квадратов (табл. 10.11). Для упрощения расчетов возьмем и и = 0 и 2 и^ = 0.

Чтобы определить параметры а0, а1 и а2, уравнение параболы второго порядка, решим следующую систему уравнений:

Подставим найденные величины в систему уравнений:

Из второго уравнения определим значение а1:

Решив первое и третье уравнения, получим значения параметров

а0 и а2:

Для выравнивания коэффициентов при а0 разделим первое уравнение на 15, а второе - на 280. Получим:

Вычтя из второго уравнения первое, получим:

0,02 = 14,73 а2

Отсюда

= и0,02 = 0,0014 ц/га. 2 14,73

Определим значение параметра а0, подставив значения а2 в первое уравнение:

220,4 = 15 а2 + 280-0,0014;

220,4 - 0,39 220,01 л л ґп .

а0 =-=-= 14,67 ц/га.

0 15 15

Решение системы уравнений дает следующие значения искомых параметров уравнения ( в ц/га ):

а0= 14,67; а1= 0,53; а2= 0,0014. Параметры уравнения параболы второго порядка можно определить не только способом подстановки, но и непосредственно пользуясь формулами, упрощающих расчеты:

Проверим правильность расчета параметров, подставляя в нормальное уравнение их числовые значения:

Итак, параболический тренд имеет такой вид:

Поясним значения найденных коэффициентов: а0= 14,67 ц/га - это начало отсчета или выровненное значение урожайности для центрального в ряду динамики года, взятого за начало условного отсчета (2003 г., когда и = 0); а1 = 0,53 ц/га - средний ежегодный прирост урожайности: а2= 0,0014 ц/га - среднее ежегодное ускорение прироста урожайности.

Вычислим по уравнению параболы сглаженное значение урожайности, подставляя в уравнение вместо и его числовые значения ( от - 7 до +7; гр. 8 табл. 10.11):

в 1996г. при и= -7; ~ = 14,67 + 0,53(-7) + 0,0014(-7)2= 10,8 ц/га;

в 1997г. при и= -6; ~ = 14,67 + 0,53(-6) + 0,0014(-6)2= 11,5 ц/га и т. д.

Проверим правильность расчетов:

Как видно из расчетов, выровненные уровни урожайности очень близки к фактическим уровням. Следовательно, парабола второго порядка достаточно точно отражает тенденцию изменения урожайности на исследуемом отрезке времени.

Чтобы оценить степень приближения параболического тренда к фактическим данным динамического ряда, вычислим остаточное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Для этого определим отклонение (у - ~), квадрат отклонения (в - уі )2 и их сумму £ (у - и )2 (гр. 9 и 10 табл. 10.11). Остаточное среднее квадратическое отклонение составит:

Коэффициент вариации равен:

Итак, колебания фактической урожайности вокруг параболы второго порядка в среднем составляет 1,01 ц/га, или 6,9%.

Небольшой коэффициент вариации указывает на то, что параболический тренд достаточно точно отражает тенденцию изменения урожайности за исследуемый отрезок времени.

Сравним результаты выравнивание динамического ряда урожайности по линейным и параболическим трендом. Остаточное среднее квадратическое отклонение, добытое по уравнению параболы второго порядка, несколько меньше, чем остаточное среднее квадратическое отклонение, полученное по уравнению прямой линии (1,01 < 1,04). Следовательно, парабола второго порядка точнее воспроизводит тенденцию изменения урожайности во времени, чем прямая линия.

Однако несущественные отличия в а и V допускают возможность выравнивания данного ряда динамики и по линейным трендом.

Для обоснования выбора выравнивания ряда динамики по линейным или параболическим трендом можно оценить существенность различий между остаточными дисперсиями по критерию Б - Фишера по правилам, изложенным в курсе математической статистики.

Фактическое дисперсионное отношение составит:

Табличное значение критерия при количестве степеней свободы вариации к = п -1 = 15 -1 = 14 и уровне значимости а = 0,05 составит 3,74.

Поскольку Ртабг > ¥фшт (3,74 > 1,06), то различия в остаточных дисперсиях являются случайными, поэтому нельзя отдать предпочтение какому-либо способу выравнивания.

Если уровни ряда динамики проявляют тенденцию к постоянству цепных темпов роста, т.е. уровни ряда изменяются в геометрической прогрессии, то выравнивать этот ряд следует за уравнение показательной кривой:

где а0 и и имеют прежний смысл, а1 - средний темп роста выровненного уровня за единицу времени.

Техника выравнивания по уравнению показательной кривой аналогична технике выравнивания по уравнению прямой линии, отличие лишь в том, что выравниваются здесь не уровни ряда, а их логарифмы.

Прологарифмувавши уравнения показательной кривой, получим уравнение прямой линии, в котором уровни ряда динамики заменены на их логарифмы:

Параметры уравнения а0 и а1 достанем из такой системы нормальных уравнений:

Приравняв £и = 0, получим:

Итак, для вычисления параметров уравнения а0 и а1 нужно найти три суммы: £ Ьгу;£ 1 Иду;£ И2 .

Порядок выравнивания ряда динамики по уравнению показательной кривой способом наименьших квадратов проиллюстрируем на следующем примере (табл. 10.12).

Используя найденные величины, определим параметры уравнения:

По таблицам антилогарифмів а0= 101,58; а1 = 1,06.

Итак, уравнение показательной кривой, что отражает тенденцию изменения урожайности помидоров будет таким:

= ^ а0 + и lg а1 = 2,0068 + 0.0253г, или потенцюючи приведенное уравнение, получим: ~~и = а0 а1і = 101,58 -1,06і.

Таблица 10.12.Розрахунок данных для выравнивания динамического ряда урожайности помидоров за показниковою кривой способом наименьших квадратов

Найденное уравнение имеет такой смысл: параметр а0 является средней геометрической фактического ряда динамики, а параметр - а1 является средним коэффициентом роста этого же ряда динамики. Отняв от него единицу и умножив на 100%, получим темп роста. Следовательно, за 2004-2010гг. среднегодовой темп роста урожайности помидоров составил:

(1,06 - 1) 100% = 6,0%.

Выравнивание по показниковою кривой осуществляется с учетом всех значений уровней исходного ряда динамики в отличие от выравнивания по среднему коэффициенту роста, которое проводится только на основе соотношения двух крайних уровней ряда.

Рассчитаем по уравнению показательной кривой выровненные значения урожайности помидоров, подставляя в уравнение вместо г его числовые значения (от - 3 до +3).

Например, для 2001 г. это выровненное значение будет таким: = 2,0068 + 0,0253 (- 3) = 1,9309.

Потенціюючи, получаем \%гу1=_3 = 85,3 ц/га.

Аналогично определяют выровненные уровни динамики и для остальных периодов времени.

Выровненные уровни можно также рассчитать по обычным уравнением показательной кривой:

~г = а0 а1г = 101,58 o 1,06г, подставляя вместо г его числовые значения (от - 3 до +3).

Например, для 2004 года выровненное значение будет таким:

Логарифмы выровненных уровней и сами уровни приведены в двух последних графах табл. 10.12. Результаты вычисления двумя способами совпадают.

Как видно из расчетов выровненные уровни урожайности очень близки к фактическим уровням ряда динамики. Итак, показательная кривая достаточно точно отражает тенденцию изменения урожайности помидоров за исследуемый отрезок времени.

При выравнивании по гиперболе, уравнение которой имеет вид

параметры a0 и a1 находят способом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений: