Постановка задачи о волновом поле

Рис. 3 иллюстрирует геометрию течения в прямоугольной системе координат, ось zd которой совпадает с осью скважины. Здесь неоднородная среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела zd = h, перпендикулярными вертикальной оси. Покрывающий и подстилающий пласты считаются слабопроницаемыми в горизонтальном направлении, средняя область толщины 2h (h zd h) является хорошо проницаемой и в горизонтальном и в вертикальном направлениях. Для простоты течение в центральном пласте полагается плоским (в осях zd, xd), а в окружающей среде - одномерным (по оси zd,). В предположении, что свойства подстилающих и покрывающих пластов идентичны, постановка задачи упрощена с использованием условия симметрии .

Рис. 3. Геометрия задачи: 1 - подстилающая и покрывающая среда

Математическая постановка задачи для комплексного возмущенного поля давления в таких предположениях включает волновое уравнение, учитывающее преобладание вертикального движения, в верхнем пласте:

, , , (11)

волновое уравнение в центральном пласте:

, , , , (12)

условие симметрии в центре пласта:

(13)

В начальный момент времени возмущения давления отсутствуют:

, , , . (14)

На границе раздела сред заданы равенства давлений и потоков:

. (15)

Давление на левой границе изменяется согласно зависимости:

. (16)

С использованием соотношений:

, , , , , ,

, , ,

где P10 - максимальный перепад давления, а j - номер области, запишем задачу в безразмерном виде:

, , , (17)

, , ,, (18)

(19)

(20)

, (21)

. (22)

Установившееся решение задачи будем отыскивать в виде:

, . (23)

Для амплитуд давления задача запишется следующим образом:

, , (24)

, , , (25)

(26)

, , (27)

. (28)

Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, ограничены либо обращаются в нуль.

3. Разложение по асимптотическому параметру. Введем произвольный асимптотический параметр перед первой и второй производными от функции возмущения давления в центральном пласте по z, как в уравнениях, так и в граничных условиях задачи. Физический смысл параметра , заключается в том, что устремление указанного параметра к нулю соответствует возрастанию до бесконечности вертикальной компоненты скорости фильтрационной волны cz, что является причиной выравнивания волнового фронта по толщине пласта.

Постановка параметризованной задачи имеет вид:

, , (29)

, , , (30)

(31)

, , (32)

. (33)

Отметим, что исходная задача совпадает с параметризованной при равенстве формального параметра единице = 1. Задача является, таким образом, частным случаем более общей параметризованной, содержащей формальный параметр асимптотического разложения .

В соответствии с концепцией метода [решение задачи будем искать, представляя функцию давления Р каждой из областей асимптотической формулой по параметру :

,

. (34)

Сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения , получим разбитую по коэффициентам асимптотического разложения задачу:

, , (35)

, , , (36)

, (37)

(38)

, (39)

. (40)

Анализ задачи показывает, что сомножители при степенях содержат соседние коэффициенты разложения и в этом смысле являются «зацепленными». Для решения соответствующего уравнения в п. 4 осуществлена процедура расцепления.

4. Постановка задачи для эквивалентной плоской волны. Формально устремим к нулю в уравнении (8) получим . С учетом граничных условий (9), (11), результат интегрирования , позволяет установить, что . Таким образом, что нулевой коэффициент асимптотического разложения давления является функцией только от x и не зависит от z: , т.е. представляет собой эквивалентную плоскую волну, волновые поверхности которой параллельны оси z..

Приравнивая к нулю коэффициенты при в уравнении (8), запишем:

. (41)

Учитывая, что P(0)(x) не зависит от переменной z, введем вспомогательную функцию E(x), также не зависящую от z:

(42)

Последовательным интегрированием найдем выражения для первой производной от первого коэффициента P(1) по переменной z:

(43)

и первого коэффициента разложения:

(44)

с функциональными коэффициентами , подлежащими определению. Используя граничные условия (11) при сомножителе в первой степени и (9) запишем:

,

. (45)

Следует выражение для функционального коэффициента через след производной из внешней области:

(46)

Подставив выражение, получим уравнение для определения нулевого приближения поля давления в пласте:

(47)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнение в окружающих породах:

, (48)

а также соответствующие граничные и начальные условия:

, (49)

. (50)

Краевая задача для нулевого коэффициента разложения или нулевого приближения (7) - (10) относится к неклассическим, поскольку уравнение для пласта содержит след производной из внешней области.

Непосредственным интегральным усреднением задачи заключающимся в применении интеграла осреднения к уравнению, получим следующую постановку:

,

,

.

Нетрудно убедиться, что представленная задача для асимптотически осредненных по толщине центральной зоны значений давления совпадает с задачей для нулевого коэффициента с точностью до обозначений.

Таким образом, физический смысл нулевого коэффициента разложения или нулевого приближения заключается в описании эквивалентной плоской волны в интервале , отыскание которой соответствует нахождению асимптотически усредненного по толщине слоя, в котором осуществляется определение эквивалентной плоской волны, решения исходной задачи.

5. Нахождение эквивалентной плоской волны. Решение задачи найдено с использованием интегрального синус-преобразования Фурье по переменной х:

(51)

Математическая постановка волновой задачи в нулевом приближении в пространстве изображений Фурье по переменной х запишется в виде:

математический волновой фурье трансцилляторный

, (52)

, (53)

. (54)

Решение уравнения с учетом граничного условия представляется через как:

, где (55)

Из выражения найдем след производной из внешней области:

(56)

Подставляя выражение в уравнение, после простых преобразований получим алгебраическое уравнение для определения :

,

откуда окончательно имеем следующие выражения для решения задачи в пространстве изображений Фурье:

,

.

Применяя обратное синус-преобразование Фурье получим следующие выражения для нулевого приближения:

, (57)

(58)

При этом (57) описывает эквивалентную плоскую волну в центральном слое, а (58) вол новой фронт в настилающем пласте. В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в задачу (47).

6. Спектральные соотношения для эквивалентной плоской волны. Для определения спектральных соотношений выражение (57) запишем в виде:

,

где коэффициент поглощения представляется выражением:

, (59)

а волновое число :

. (60)

Выражения (61) и (62) содержат вспомогательные функции:

Формула для фазовой скорости волны имеет вид:

. (61)

Для однородной изотропной среды эти соотношения запишутся как:

, (62)

, (63)

. (64)

На рисунке 4 представлены зависимости коэффициента поглощения от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях, рассчитанные для неоднородной анизотропной среды по формуле (61) - кривые 1 (К = 2, С = 4, X = 2), 2 (K = 1, C = 1, X = 1), 4 (K = 0.5, C = 0.25, X = 0.5) и по формуле (64) - кривая 3 - для случая однородной изотропной среды. В расчетах принято Af = 106. Сопоставление кривых показывает, что увеличение проницаемости вмещающей среды приводит к увеличению коэффициента затухания кривая 1, а уменьшение к снижению коэффициента затухания кривая 4 в сравнении с однородной средой - кривая 4, при достаточно больших . Различие между кривыми 2 и 3 описывает вклад анизотропии, поскольку окружающееся среда считается проницаемой только в вертикальном направлении.

Рис. 4. Зависимость коэффициента поглощения от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 1, 2, 4 - неоднородная среда, 3 - однородная среда

На рисунке 5 представлены зависимости коэффициента фазы от циклической частоты, рассчитанные при тех же значениях, что и на рисунке 2 по формулам (62) для неоднородной среды и (65) для однородной. С увеличением частоты, как следует из анализа кривых, коэффициент фазы возрастает. При этом с увеличением проницаемости окружающих пород «крутизна» кривых возрастает. При больших значениях зависимость от является линейной. Область нелинейной зависимости увеличивается с увеличением проницаемости окружающей среды.

Рис. 5. Зависимость коэффициента фазы от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 1, 2, 4 - неоднородная среда, 3 - однородная среда

Рисунок 6 иллюстрирует зависимости фазовой скорости от циклической частоты, рассчитанные по формулам (6.6) - кривая 3 и (6.3) - кривые 1, 2, 4. Расчетные параметры те же, что и на рисунках 2 и 3. Из фигуры следует, что при малых частотах с увеличением частоты фазовая скорость возрастает. При больших значениях безразмерных частот фазовая скорость от щ не зависит.

Рис. 6. Зависимость фазовой скорости от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 3 - однородная среда, 1, 2, 4 - неоднородная среда

После умножения решения задачи в нулевом приближении на exp(it) действительную часть (57), (58) представим виде:

, (65)

. (66)

Из (67) и (68) следует, что волновой процесс в нулевом приближении (или «в среднем») может быть представлен в пласте в виде плоской затухающей волны, распространяющейся по оси x. Эта волна возбуждает в точке z = 1 бегущую по z затухающую волну в окружающих породах со сдвигом фазы - x , соответствующим приходу к точке x возбуждающей волны.

На рисунке 7 представлено распределение давления вдоль горизонтальной оси при различных значениях вертикальной координаты в момент времени t = 0. Расчетные параметры: = 5, Х = 2, Af = 1, С = 4, К = 2.

Рис. 7. Распределение давления вдоль горизонтальной оси при различных значениях вертикальной координаты: 1 - z = 0, 2 - 2, 3 - 3

Отыскание выражений для первого коэффициента разложения уточняет геометрию волнового фронта в области осреднения. В этом смысле первый коэффициент асимптотического разложения можно рассматривать как погрешность плоского представления рассматриваемого фильтрационно-волнового процесса.

7. Определение погрешности плоского представления фильтрационно-волнового процесса. Для первого коэффициента разложения имеем:

, , (67)

, , , (68)

, (69)

, , (70)

. (71)

Задача является «зацепленной», так как уравнение (72) и выражение (74) содержат коэффициенты первого и второго порядков разложения. Для «расцепления» используем выражение для первого коэффициента разложения, полученного в разделе 4. Из (44) с учетом (45), (46) и (57) выражение для можно записать в виде:

, (72)

где - функция, подлежащая определению. Запишем выражение для производной второго коэффициента разложения:

, .

равно нулю согласно условию симметрии. Далее, запишем:

. (73)

Получим уравнение для первого коэффициента разложения :

, , . (74)

Задача для содержит также следующие уравнение и соотношение:

, , (75)

. (76)

Задача имеет бесконечное множество решений. Однако если к ней добавить условие (75), то указанная задача имеет только тривиальное решение. Для получения единственного решения задачи для первого коэффициента разложения условие (75) следует ослабить и заменить нелокальным средне интегральным, которое найдено ниже путем осреднения задачи для остаточного члена.

8. Определение дополнительных условий для поправки к плоской волне. Подставив асимптотические формулы:

, ,

воспользовавшись известными соотношениями для нулевого и первого коэффициентов, запишем:

, , (77)

,

, , (78)

, (79)

, (80)

, (81)

. (82)

Эта задача по сложности сопоставима с исходной. Для нахождения дополнительного условия усредним задачу в интервале центрального пласта, применив интегральную процедуру:

.

С учетом результатов интегрирования:

,

Получим следующую осредненную по толщине центрального пласта задачу для остаточного члена:

, , (83)

, , (84)

, (85)

. (86)

Искомое нелокальное среднеинтегральное условие определяется из требования тривиального решения осредненной задачи для остаточного члена. Необходимыми условиями тривиального решения задачи являются обращение в нуль правых частей уравнения:

, (87)

. (88)

Условие (88) используется в качестве граничного в задаче для первого коэффициента разложения. Ниже показано, что при добавлении этого условия задача для первого коэффициента разложения имеет единственное решение. При этом осредненная задача для остаточного члена имеет только нулевое решение. Поскольку осредненное значение остаточного члена при этом равно нулю, то построенное решение является в некотором смысле «в среднем точным» асимптотическим решением.

9. Определение поправочных функций. Задача для первого коэффициента разложения запишется как:

, , (89)

, , , (90)

, (91)

. (92)

Решение этой задачи отыскивается с использованием синус-преобразования Фурье, уравнение запишем в виде:

Из формулы следует , коэффициент определяется из условия: . С учетом полученных соотношений задача в пространстве изображений представится в виде:

, , (93)

(94)

. (95)

Структура решения уравнения запишется как:

. (96)

Аналогично нулевому приближению решение уравнения имеет вид:

. (97)

Определим след производной из внешней области для уравнения (96):

. (98)

После подстановки (98) в уравнение (96) и простых преобразований получим алгебраическое уравнение для определения (s):

.

С учетом (57) запишем выражение для Qu(s) в виде:

. (99)

. (100)

. (101)

Решение задачи для первого коэффициента разложения имеет вид:

, (102)

. (103)

В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в задачу:

Получим выражения для реальной части первого коэффициента разложения в центральном пласте и окружающей среде:

,

где:

,

.

Выражения для первого коэффициента разложения уточняют фильтрационно-волновые поля давления в нулевом приближении и обеспечивают детальное описание геометрии волнового фронта в пласте. Отметим, что коэффициенты поглощения , фазы , функций частоты и в первом коэффициенте разложения определяются теми же выражениями, что и в нулевом приближении.

На рисунке 8 изображено распределение давления по вертикальной оси в нулевом и первом приближениях. Расчетные параметры: = 1, X = 1, Af = 1, C = 1, K = 1, x = 1, t = 0. Первое приближение уточняет геометрию фронта исследуемой волны в зоне представления плоской волной.

Рис. 8. Распределение давления по вертикальной оси в нулевом и первом приближениях: кривая 1 - нулевое приближение, кривая 2 - первое

10. Проверка достоверности представления волны в виде плоской. Точное решение задачи получено с помощью синус-преобразования Фурье:

, , (104)

, , , (105)

, (106)

, . (107)

Решение уравнения (101) имеет вид:

.

Общее решение уравнения (92) запишется как:

,

где . Из (103) следует, что С1 = С2. Вид С1 определяется из условия (104):

.

Точное решение задачи (101) - (104) представится в виде:

,

.

С помощью довольно громоздких преобразований нами показано, что при 0 совпадает с выражением (57), а с выражением (92). Такое сопоставление является прямой проверкой справедливости развитого выше метода решения волновых задач сопряжения.

Итак, применение «в среднем точной» модификации асимптотического метода к задаче о фильтрационно-волновом поле в неоднородной анизотропной среде позволяет представить выражения для любого волнового процесса в виде плоской волны (нулевое приближение), а также определить реальную геометрию волнового фронта (первое приближение). При этом нулевой и первый коэффициенты совпадают с разложением Маклорена точного решения задачи о фильтрационно-волновых полях в неоднородной пористой среде. Поэтому найденные решения расширяют возможности исследования полей давления применительно к реальным условиям в акустическом каротаже, сейсморазведке и при интенсификации нефтеизвлечения.