Классическое определение вероятности (теория урн)

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m результатов (исходов) эксперимента, благоприятствующих появлению события А, к числу n всех равновозможных результатов эксперимента:

(2.1)

При этом .

Например, вероятность выпадения числа при одном бросании правильной монеты равна 1/2.

Задачи

Используя формулы и результаты решения задач раздела 1, решим задачи на вычисление вероятности события (по классическому определению).

Задача №10. В урне 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров, не различимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Наудачу достают 1 шар. Найти варианты событий: извлечённый шар красный (событие А), синий (событие B), белый (событие С).

Решение. Всего исходов эксперимента, состоящего в извлечении одного шара, 20=3+8+9, т.е. в формуле (2.1), n=20. Событию А благоприятствует 8 исходов, т.е. mА=8, аналогично mВ=3, mС=9.

По формуле (2.1) имеем:

Примечание. Если сложить полученные вероятности, то получим 1, т.е. Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1, что говорит о том, что А, В и С составляют полную группу событий (см. раздел 3).

Задача №11. В расписании 3 лекции по разным предметам. Всего на курсе изучается 10 предметов. Какова вероятность того, что студент, не знакомый с расписанием, угадает его, если все варианты составления расписания на день равновозможные.

Решение. Всего комбинаций из 3-х предметов, выбранных из 10 и отличающихся друг от друга хоть одним предметом или порядком их следования, т.е. размещений из десяти элементов по три, можно получить:

.

Нам нужна только одна комбинация вероятность угадать расписание:

.

Задача №12. На 8-ми одинаковых карточках написаны 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Найти вероятность того, что образованная из 2-х чисел дробь сократима.

Решение. Всех исходов столько, сколько есть вариантов выбора двух карточек из 8 одинакового формата . Из них только карточек благоприятствуют событию А, т.к. только 5 чисел 2, 4, 6, 8, 12 сократимы .

.

Задача №13. Из 60 экзаменационных вопросов студент подготовил 50. Найти вероятность того, что вытянутый билет из 2 вопросов будет состоять из подготовленных вопросов.

Решение.

Задача №14. Из 30 карточек с буквами русского алфавита наудачу выбирают 4 карточки. Чему равна вероятность того, что эти 4 карточки в порядке выхода составят слово "небо"?

Решение.

15.

Задача №15. На полке расставлено наудачу 10 книг. Определить вероятность того, что 3 определённые книги окажутся рядом.

Решение.

.

Пояснение. При вычислении m три указанные книги принимаем за одну.

Задача №16. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 выигрывают, 500 проигрывают. Куплено 2 билета. Найти вероятность того, что оба билета выиграют.

Решение. Пусть случайное событие А={2 билета выигрывают}, тогда:

Задача №17. Наудачу выбирается 5-тизначное число. Какова вероятность события:

А = {число симметрично относительно центральной цифры};

В = {число кратно 5};

С = {число состоит из нечётных цифр}.

Решение. Всего пятизначных чисел: (правило произведения).

Задача №18. В коробке 15 одинаковых изделий, 5 из них окрашены. Наугад извлекают 3 изделия. Найти вероятность того, что

a) все 3 изделия окрашены;

b) одно изделие окрашено.

Решение. Рассмотрим события:

А1 = {все 3 изделия окрашены};

А2 = {из всех 3 изделий только 1 окрашено}.

Задача №19. Среди 12-ти студентов, 7 из которых девушки, раздают 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов будут 3 девушки (событие А).

Решение.

Задача №20. Из колоды карт (36 штук) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется туз.

Решение.

.

Задача №21. Из 10 изделий, из которых 3 бракованные, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность того, что:

a)в полученной выборке все изделия бракованные;

b)в полученной выборке 2 изделия бракованные.

Решение.

А={в полученной выборке все изделия бракованные};

B={в полученной выборке 2 изделия бракованные};

.

Задача №22. Дано пять отрезков, длины которых составляют соответственно 1, 3, 5, 7, 9. Определить вероятность того, что из взятых наудачу 3-х отрезков из данных пяти можно построить треугольник (событие А).

Решение. Всего отобрать 3 отрезка из заданных 5-ти можно вариантами, т.е. ; благоприятных (ab>c или a-b<c) только 3: (3,5,7), (3,7,9), (5,7,9)

.

Задача №23. Кандидаты в студенческий совет: 3 - от I-го курса, 5 - от II-го, 7 - от III-го. Выбираются наудачу 5 человек на конференцию. Найти вероятность того, что делегация будет состоять из 1-го первокурсника, 2-х второкурсников, 2-х третьекурсников.

Решение. Пусть А = {делегация состоит из 1-го первокурсника, 2-х второкурсников, 2-х третьекурсников}.

Тогда:

Задача №24. Наугад выбирают 6 клеток из 49 (спортлото). Найти вероятность того, что будет правильно угадано 3 клетки (событие А), 6 клеток (событие В).

Решение.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >