Формула Байеса (формула переоценки вероятности гипотез)
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез (см п.4.1). Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:
(4.2)
Задачи
Задача №53. 70% населения обследуемого региона имеет только среднее образование, среди которых 10% безработных, 30% населения - с высшим образованием, среди них 2% безработных. Если выбранный наугад человек является безработным, то какова вероятность того, что он закончил ВУЗ?
Решение. В качестве гипотезы примем:
Н1 = {выбранный наугад человек со средним образованием};
Н2 = { выбранный наугад человек со высшим образованием }.
Р(Н1) = 0,7; Р(Н2) = 0,3.
Пусть соб. А = {выбранный наудачу человек безработный}, тогда
P(A/H1) = 0,1, P(A/H2) = 0,02.
Нужно определить P( ) по формуле (4.2).
Имеем:
Задача №54. На сборочный конвейер поступили детали с 3-х станков, производительность которых неодинакова: I-го - 50% плана, II-го - 30% плана, III-го - 20% плана. Вероятность получения годного узла равна 0,92, если деталь I-го станка, 0,95,если деталь со II-го станка, 0,82, если деталь с III-го станка. Определить вероятность того, что в сборку попали детали, изготовленные на первом станке, если узел годный.
Решение. А = { узел годный};
Н1 = {деталь с I-го станка};
Н2 = {деталь со II-го станка};
Н3 = {деталь с III-го станка};
Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2.
Р(А/Н1)=0,92; Р(А/Н2)=0,95; Р(А/Н3)=0,82.
Задача №55. 30% приборов собирают специалисты высокой квалификации, 70% - средней квалификации. Надёжность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации - 0,9, а специалистом средней квалификации - 0,8. Взятый наугад прибор оказался надёжным. Определить вероятность того, что прибор собран специалистом высокой квалификации.
Решение.
Пусть событие А = {прибор работает безотказно}.
До проверки прибора возможны 2 гипотезы:
Н1 = {прибор собран специалистом высокой квалификации};
Н2 = { прибор собран специалистом средней квалификации }.
Р(Н1) = 0,3, Р(Н2) = 0,7.
Условные вероятности события А равны:
P(A/H1) = 0,9, P(A/H2) = 0,8.
Пусть событие А произошло, тогда
.
Задача №56. Из 10 учащихся, которые пришли на экзамен по математике (нужно было подготовить 20 вопросов), трое подготовились на отлично (выучив по 20 вопросов), четверо - на хорошо, выучив по 16 вопросов, двое - на удовлетворительно, выучив по 10 вопросов, один не готовился и может ответить на 5 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Первый ученик ответил на все 3 вопроса своего билета. Какова вероятность того, что этот ученик подготовился на отлично?
Решение. Пусть событие А = {1-й ученик ответил на 3 вопроса} и гипотезы:
Н1 = {1-й ученик подготовлен на 5};
Н2 = {1-й ученик подготовлен на 4};
Н3 = {1-й ученик подготовлен на 3};
Н4 = {1-й ученик подготовлен на 2}.
P(H1) = 0,3; P(H2) = 0,4; P(H3) = 0,2; P(H4) = 0,1
P(А/H1) = 1 (событие {1-й ученик ответил на 3 вопроса, при условии, что он выучил 20 из 20}, является достоверным).
(вероятность правильного ответа на 1-й вопрос равна 16/20, на 2-й - 15/19, на 3-й - 14/18).
По формуле (4.2) имеем:
Вывод: учителю придётся предложить ученику ещё дополнительные вопросы.
