Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Основы теории вероятности

Случайные величины (с.в.)

Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной называют случайную величину, возможные значения которой есть изолированные числа (число их может быть конечным или бесконечным для счетного множества).

Зависимость вероятностей от возможных значений с.в. есть закон распределения дискретной с.в., который может быть представлен в виде ряда распределения, многоугольника распределения, функции распределения с.в.

При этом название закона распределения диктует формула, по которой вычисляются вероятности, соответствующие возможным значениям С.В. Ниже приведены наиболее часто встречающиеся на практике:

§ биномиальный закон распределения дискретной с.в. X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p. Вероятность возможного значения Х= k по формуле Бернулли равна:

(5.1)

§ если n велико, а p в каждом испытании очень мало, то используется приближённая формула (распределение Пуассона):

, np (5.2)

Здесь

.

§если вероятность появления события А в каждом испытании p (), а Х - число испытаний до появления события А в серии независимых повторных испытаний, то пользуются формулой:

(5.3)

Ряд вероятностей этого распределения будет бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q<1 и суммой, равной единице. Такое распределение называется геометрическим;

§ в задачах статистического контроля качества часто используется гипергеометрический закон распределения дискретной с.в. При этом применяется формула:

(5.4)

Здесь из совокупности n элементов, которая содержит m элементов определённого свойства (напр., среди n деталей ровно m бракованных), отбираются случайным образом k элементов. P(X=l) - это вероятность того, что среди k отобранных элементов ровно l элементов с определённым свойством.

§ Кроме указанных законов распределения, на практике используются числовые характеристики с.в.:

- математическое ожидание M(X);

- дисперсия D(X);

- среднее квадратическое отклонение X).

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

Для биномиального распределения (формула (5.1)) имеем:

M(X)=np (5.9)

D(X)=npq (5.10)

Для распределения Пуассона (формула (5.2)):

M(Х)=D(Х)=np= (5.11)

Задачи

Задача №57. В партии из 6-ти деталей 4 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной с.в. Х - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики с.в. Х.

Решение. Имеем гипергеометрический закон распределения с.в. Х:

Возможные значения Х:

Соответствующие вероятности вычисляются по формуле (5.4):

=

Имеем ряд распределения:

Х:

0

1

2

3

0

Многоугольник распределения.

рис.3

Функцией распределения F(х) называется вероятность того, что с.в. Х в результате испытаний примет значение, меньшее х: F(x)=P(X<x)

В нашем случае имеем:

если х1, то F(x)=0,

если 1<x2, то F(x)=,

если 2<x3, то F(x)=

если х>3, то F(x)=.

График этой функции на рис.4.

рис.4

Математическое ожидание (по формуле (5.5)):

Дисперсия (по формуле (5.7)):

Среднее квадратическое отклонение (по формуле (5.8 )):

Задача №58. В денежной лотерее 100 билетов, из них 1 составляет выигрыш в 50 грн, 10 - в 1 грн. Составить закон распределения с.в. Х - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Вероятность выигрыша 1 грн равна

,

аналогично получим

, .

Имеем ряд распределения с.в. Х:

0

1

50

0,89

0,1

0,01

Многоугольник распределения с.в. Х:

рис.5

Функция распределения.

рис.6

Задача №59. Среди 20-ти изделий 5 бракованных. Случайным образом выбираются 3 изделия для проверки их качества. С.в. Х - число бракованных изделий. Построить ряд распределения Х, найти М(Х), D(X), если Х=0,1,2,3.

Решение.

Имеем ряд распределения с.в. Х.

0

1

2

3

Х:

Задача №60. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не более определённого числа литров в сутки), равна . Найти вероятности того, что в ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение 1-го, 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти, 6-ти дней.

Решение. Пусть с.в. Х - число дней, в течение которых расход воды будет нормальным. Тогда вероятности, соответствующие возможным значениям Х (от 1 до 6), будут вычисляться по формуле Бернулли (5.1) и распределение с.в. Х будет биномиальным.

Примечание: при вычислениях вероятностей удобно использовать формулу

Строим ряд распределения с.в. Х.

Х

1

2

3

4

5

6

0,004

0,033

0,132

0,297

0,356

0,178

Строим многоугольник распределения с.в.Х.

рис.7

Очевидно, что наиболее вероятен перерасход воды в течение одного или двух дней из 6-ти.

Наиболее вероятным является нормальный расход воды в течение 5-ти дней:

Р(Х=5)=0,356.

называется модой () с.в. Х.

Строим функцию F(x) распределения с.в. Х.

рис.8

Функция распределения аналитически может быть записана так:

F(x)

Задача №61. Игральная кость брошена три раза. Построить ряд и функцию распределения с.в. Х - возможного числа появления шестёрок.

Решение. Имеем схему Бернулли с

, , n=3.

; .

Ряд распределения Х имеет вид:

0

1

2

3

Функция F(х) распределения с.в. Х имеет вид:

F(х)=

Строим график:

рис.9

Задача №62. Подлежат исследованию 1200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна р=0,09. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проб с промышленным содержанием металла.

Решение. Пусть с.в. Х - число проб с промышленным содержанием металла, тогда c.в. Х распределена по биномиальному закону.

Математическое ожидание вычисляем по формуле (5.9), дисперсию, соответственно, по формуле (5.10 ):

.

Задача №63. Тираж учебников составляет экземпляров. Вероятность неверного брошюрования учебника равна Записать ряд бракованных учебников среди данного тиража для возможных значений Х от 1 до 5.

Решение. Здесь

По формуле (5.2) мы получим все интересующие нас вероятности:

Имеем ряд распределения с.в. Х (закон Пуассона).

1

2

3

4

5

6

Так, (принимаем ).

Математическое ожидание числа бракованных экземпляров среди 10 книг при равно:

Задача №64. Вероятность того, что с конвейера сойдёт k бракованных деталей равна . Построить ряд распределения для с.в. k и найти её математическое ожидание.

Замечание. для решения этой задачи понадобятся первоначальные сведения из теории рядов, или, по крайней мере, знание бесконечной убывающей прогрессии.

Решение.

1. Строим ряд распределения с.в. k - числа бракованных деталей с конвейера (геометрический закон).

K:

1

2

3

4

n

0,3

2.

Мы получим М(Х), если бесконечная сумма - ряд сходится.

Воспользуемся признаком Даламбера для знакоположительных рядов.

ряд сходится и М(Х) - его сумма.

Для её нахождения применим искусственный приём:

+ . . .

Примечание. Каждая бесконечная сумма в скобках в правой части равенства для М(Х) вычисляется по формуле для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии ().

Задача №65. Мишень вращается вокруг оси Ох. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различить цифры. Стреляет наугад. Секторы одинаковы. Выигрыш соответствует номеру сектора.

Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 5 грн?

Решение.

рис.10

Х:

1

2

3

4

5

6

7

8

Вероятности всех возможных значений Х равны между собой и равны

Найдём

.

Стоимость выстрела 5 грн. Очевидно, стрелять много раз невыгодно.

Задача №66. Дискретная с.в. Х принимает только 3 возможных значения: 1,

, . ().

Найти закон распределения с.в. Х, если

М(Х)=2,2 и D(X)=0,76.

Решение.

1. Запишем ряд распределения для Х, найдя предварительно

2.

Х:

1

0,3

0,2

0,5

2. Запишем равенства для математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X):

Получим нелинейную систему двух уравнений с двумя неизвестными и . Решим её.

Х:

1

2

3

0,3

0,2

0,5

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее