Основные теоремы теории вероятности

Формула полной вероятности

Группа гипотез - полная группа несовместных событий (пусть это будет Н1, Н2 , …, Нn). Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из них. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:

(4.1)

которая называется формулой полной вероятности.

Здесь: - вероятности гипотез;

-условные вероятности события А.

Задачи

Задача №47. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы равна: для лыжников - 0,9, для велосипедистов - 0,8, для бегунов - 0,75.

Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.

Решение.

А = {спортсмен выполнил норму};

Н1 = {выполнил лыжник};

Н2 = {выполнил велосипедист};

Н3 = {выполнил бегун}.

Задача №48. Стрельба производилась по 3-м мишеням. По 1-ой - 5 раз, по 2-ой - 3 раза, по 3-ей - 2 раза. Вероятность попадания по 1-ой мишени равна 0,4, по 2-ой мишени - 0,1, по 3-ей - 0,12. Найти вероятность одного попадания в мишень.

Решение. Пусть A = {попадание в мишень при одном выстреле}

H1 = {стреляли в 1-ю мишень} P(H1) = 0,5

H2 = {стреляли в 2-ю мишень} P(H2) = 0,3

H3 = {стреляли в 3-ю мишень} P(H3) = 0,2

P(A/H1) = 0,4 P(A/H2) = 0,1P(A/H3) = 0,12

По формуле (4.1) имеем: .

Задача №49. В лаборатории 3 одинаковых клетки. В 1-й - 3 белых и 7 коричневых мыши, во 2-й - 5 белых и 6 коричневых. В 3-й - 7 белых и 2 коричневых. Случайным образом берут из одной клетки мышь. Найти вероятность того, что выбрана белая мышь (событие А).

Решение. Пусть имеется 3 гипотезы:

Н1 = {выбрана мышь из 1-й клетки};

Н2 = {выбрана мышь из 2-й клетки};

Н3 = {выбрана мышь из 3-й клетки};

Р(Н1)= Р(Н2)= Р(Н3)=1/3

Условные вероятности события А будут равны:

Р(А/Н1)= 3/10; Р(А/Н2)=5/11; Р(А/Н3)=7/9.

По формуле (4.1) имеем:

Задача №50. Судостроительный завод получает от 3-х предприятий детали: от предприятия В - 60%, от С - 30%, от D - 10%. При этом на каждом из этих предприятий допускается брак, соответственно на В - 4%, на С - 5%, и на D - 6%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь будет бракованной (событие А), если известно, от какого предприятия она поступила.

Решение. В качестве гипотез событий примем:

Н1 = {деталь поступила от предприятия В};

Н2 = {деталь поступила от предприятия С};

Н3 = {деталь поступила от предприятия D}.

Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,1

Условные вероятности события А равны соответственно:

Р(А/Н1)= 0,04;Р(А/Н2)=0,05;Р(А/Н3)=0,06.

По формуле (4.1) имеем:

Задача №51. В магазин поступили телевизоры от 5-ти фирм в следующем количестве:

Фирма

1

2

3

4

5

Количество телевизоров

5

10

6

8

11

Рi

0,98

0,8

0,6

0,3

0,1

Рi - вероятности того, что телевизоры исправны.

Найти вероятности того, что купленный наугад телевизор исправно работает (событие А)

Решение.

1) В качестве гипотез выберем события:

{телевизор i-й фирмы}, (i=).

2) Найдём вероятности гипотез, учитывая, что п=40:

Р(Н1) = 5/40; Р(Н2) = 10/40; Р(Н3) = 6/40; Р(Н4) = 8/40; Р(Н5) = 11/40.

3) Условные вероятности равны:

Р(А/Н1) = 0,98; Р(А/Н2) = 0,8; Р(А/Н3) = 0,6; Р(А/Н4) = 0,3; Р(А/Н5) = 0,1.

4) По формуле (4.1) имеем:

Задача №52. Имеются 3 одинаковых ящика, в каждом из которых по 20 однотипных деталей. Определить вероятность того, что извлечённая из наугад выбранного ящика деталь стандартная (событие А), если известно, что в 1-м ящике 18 стандартных деталей, во 2-м - 17, в 3-м - 16.

Решение. Если в качестве i-й гипотезы (i = 1,2,3) выбрать событие

Нi = {деталь из i-го ящика}, то Р(Нi) =1/3.

Р(А/Н1) = 18/20;

Р(А/Н2) = 17/20;

Р(А/Н3) = 16/20.

По формуле (4.1) имеем:

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >