Основные теоремы теории вероятности
Формула полной вероятности
Группа гипотез - полная группа несовместных событий (пусть это будет Н1, Н2 , …, Нn). Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из них. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:
(4.1)
которая называется формулой полной вероятности.
Здесь: - вероятности гипотез;
-условные вероятности события А.
Задачи
Задача №47. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы равна: для лыжников - 0,9, для велосипедистов - 0,8, для бегунов - 0,75.
Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.
Решение.
А = {спортсмен выполнил норму};
Н1 = {выполнил лыжник};
Н2 = {выполнил велосипедист};
Н3 = {выполнил бегун}.
Задача №48. Стрельба производилась по 3-м мишеням. По 1-ой - 5 раз, по 2-ой - 3 раза, по 3-ей - 2 раза. Вероятность попадания по 1-ой мишени равна 0,4, по 2-ой мишени - 0,1, по 3-ей - 0,12. Найти вероятность одного попадания в мишень.
Решение. Пусть A = {попадание в мишень при одном выстреле}
H1 = {стреляли в 1-ю мишень} P(H1) = 0,5
H2 = {стреляли в 2-ю мишень} P(H2) = 0,3
H3 = {стреляли в 3-ю мишень} P(H3) = 0,2
P(A/H1) = 0,4 P(A/H2) = 0,1P(A/H3) = 0,12
По формуле (4.1) имеем: .
Задача №49. В лаборатории 3 одинаковых клетки. В 1-й - 3 белых и 7 коричневых мыши, во 2-й - 5 белых и 6 коричневых. В 3-й - 7 белых и 2 коричневых. Случайным образом берут из одной клетки мышь. Найти вероятность того, что выбрана белая мышь (событие А).
Решение. Пусть имеется 3 гипотезы:
Н1 = {выбрана мышь из 1-й клетки};
Н2 = {выбрана мышь из 2-й клетки};
Н3 = {выбрана мышь из 3-й клетки};
Р(Н1)= Р(Н2)= Р(Н3)=1/3
Условные вероятности события А будут равны:
Р(А/Н1)= 3/10; Р(А/Н2)=5/11; Р(А/Н3)=7/9.
По формуле (4.1) имеем:
Задача №50. Судостроительный завод получает от 3-х предприятий детали: от предприятия В - 60%, от С - 30%, от D - 10%. При этом на каждом из этих предприятий допускается брак, соответственно на В - 4%, на С - 5%, и на D - 6%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь будет бракованной (событие А), если известно, от какого предприятия она поступила.
Решение. В качестве гипотез событий примем:
Н1 = {деталь поступила от предприятия В};
Н2 = {деталь поступила от предприятия С};
Н3 = {деталь поступила от предприятия D}.
Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,1
Условные вероятности события А равны соответственно:
Р(А/Н1)= 0,04;Р(А/Н2)=0,05;Р(А/Н3)=0,06.
По формуле (4.1) имеем:
Задача №51. В магазин поступили телевизоры от 5-ти фирм в следующем количестве:
|
Фирма |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Количество телевизоров |
5 |
10 |
6 |
8 |
11 |
|
Рi |
0,98 |
0,8 |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
Рi - вероятности того, что телевизоры исправны.
Найти вероятности того, что купленный наугад телевизор исправно работает (событие А)
Решение.
1) В качестве гипотез выберем события:
{телевизор i-й фирмы}, (i=).
2) Найдём вероятности гипотез, учитывая, что п=40:
Р(Н1) = 5/40; Р(Н2) = 10/40; Р(Н3) = 6/40; Р(Н4) = 8/40; Р(Н5) = 11/40.
3) Условные вероятности равны:
Р(А/Н1) = 0,98; Р(А/Н2) = 0,8; Р(А/Н3) = 0,6; Р(А/Н4) = 0,3; Р(А/Н5) = 0,1.
4) По формуле (4.1) имеем:
Задача №52. Имеются 3 одинаковых ящика, в каждом из которых по 20 однотипных деталей. Определить вероятность того, что извлечённая из наугад выбранного ящика деталь стандартная (событие А), если известно, что в 1-м ящике 18 стандартных деталей, во 2-м - 17, в 3-м - 16.
Решение. Если в качестве i-й гипотезы (i = 1,2,3) выбрать событие
Нi = {деталь из i-го ящика}, то Р(Нi) =1/3.
Р(А/Н1) = 18/20;
Р(А/Н2) = 17/20;
Р(А/Н3) = 16/20.
По формуле (4.1) имеем:
