Формулы полной вероятности и вероятности гипотез

Пусть событие А может наступать только одновременно с одним из попарно несовместных событий Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу. Тогда вероятность события А определятся по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁)*P(А/Н₁) + Р(Н₂)*Р(А/Н₂) +...+ Р(Н_n)*Р(А/Н_n), или Р(А)= У Р(Н_i)*Р(А/Н_i),

где события Н₁,Н₂, ...,Н_n, - гипотезы, a P(A/H_i) - условная вероятность наступления события А при наступлении i-ой гипотезы (i=1, 2,..., n).

Условная вероятность гипотезы Н_i при условии того, что событие А произошло, определяется по формуле вероятности гипотез или формуле Байеса (она позволяет пересмотреть вероятности гипотез после наступления события А):

Р(Н_i/А)=(P(H_i)*P(A/H_i))/P(A).

Формула Бернулли

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причём каждый раз может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р(А) = р - вероятность успеха, Р(А)=1-р= q - вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что в к случаях из n произойдёт событие А вычисляется по формуле Бернулли

P_n(K) = C^k_n-p^k-q^n-k.

Условия, приводящие к формуле Бернулли, называются схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Так как вероятности Р_n(к) для раз личных значений к представляют собой слагаемые в разложении бинома Ньютона

(p+q)ⁿ=C⁰_n*p⁰*qⁿ+C¹_n*p¹*q^n-1+…+C^k_n*p^k*q^n-k+…+Cⁿ_n*pⁿ*q⁰,

то распределение вероятностей P_n(k), где 0?k?n, называется биноминальным.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А разные, то вероятность наступления события А к раз в n опытах определяется как коэффициент, при к-ой степени полинома

ц_n(Z)=Р(q_i+p_iZ)=a_nZⁿ+a_n-1Z^n-1+…+a₁Z₁+a₀, где ц_n(Z) - производящая функция.

Невероятнейшее число наступивших событий в схеме Бернулли - к_о (к₀ c К) определяется из следующего неравенства: np-q?k₀?np+p.

Локальная формула Муавра-Лапласа

Если npq>10 , то

где вероятность р отлична от 0 и 1 (р>0,5), х =(k-np)/vnpq.

Для облегчения вычислений функция

представлена в виде таблицы (прил.1).

ц(х) - функция вероятности нормального распределения (рис. 6) имеет следующие свойства:

1) ц(х)-четная;

2) точки перегиба х = ± 1;

3) при х?5, ц(х)>0, поэтому функция ц(х) представлена в виде таблицы для 0?х?5 (прил.1).

Рис. Функция вероятности нормального распределения