Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow О теории вероятностей

Равномерный закон распределения

СВ X распределена по равномерному (прямоугольному) закону, если все значения СВ лежат внутри некоторого интервала и все они равновероятны (точнее обладают одной плотностью вероятности).Например, если весы имеют точность 1г и полученное значение округляется до ближайшего целого числа k, то точный вес можно считать равномерно распределенной СВ на интервале (k-0,5; k+0,5).

Дифференциальная функция равномерного закона на интервале (б,в) (рис. 11):

Интегральная функция равномерного закона на интервале (б,в) (рис. 11):

Дифференциальная функция

Рис. Дифференциальная функция

2). Интегральная функция.

Основные числовые характеристики равномерного закона:

1. Математическое ожидание

М(Х) совпадает, в силу симметрии распределения, с медианой.

Моды равномерное распределение не имеет.

Дисперсия

Отсюда, среднее квадратическое отклонение

Третий центральный момент

поэтому распределение симметрично относительно М(Х).

Четвёртый центральный момент

Вероятность попадания СВ в заданный интервал (а;b). Пусть СВ X распределена по равномерному закону,

Закон больших чисел

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимают совокупность теорем, в которых утверждается, что существует связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.

В1927 г. Гейзенберг открыл принцип неопределенности, который утверждает, что измерительное познание ограничено. Неопределенность является неотъемлемой частью нашей жизни, однако, при большом числе однотипных опытов можно установить определенные закономерности.

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся закон распределения, главной особенностью которого является то, что он является предельным законом, к которому, при определённых условиях, приближаются другие законы распределения.

Дифференциальная функция нормального закона имеет вид

Числовые характеристики нормального закона:

1. Математическое ожидание характеризует центр распределения

где ex=exp(x);

2. Дисперсия характеризует форму распределения

Свойства дифференциальной функции нормального закона:

1. Область определения: Df = R;

2. Ось ОХ - горизонтальная асимптота;

3. х = а±у - две точки перегиба;

4. Максимум в точке с координатами (а; 1/(уv2р);

5. График симметричен относительно прямой х=а;

6. Моменты:

м13=…=м2k+1=…=0,

м22, м4=3у4,

Sk=м33=0, Ex=м44-3=0

7. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется, по свойству интегральной функции

где

интегральная функция нормального закона (рис.14); Ф(х)- функция Лапласа.

Свойства интегральной функции нормального закона:

1. Ф* (-?)=0;

2. Ф*(+)=1;

3. Ф*(x)=1/2+Ф(x);

4. Ф*(-x)=1-Ф*(x).

Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.

Найдем вероятность того, что случайная величина X, распределённая по нормальному закону, отклонится от математического ожидания М(Х)=а не более чем на величину е>0.

Р(|х-а|<е)= Р(-е< х-а<+е) = Р(а-е<х< а+е) =Ф*((a+е-a)/у)-Ф*((a-е-a)/у)=Ф*(е/у)-(1-Ф* (е/у))=2Ф* (е/у)-1.

Или, используя функцию Лапласа:

P(|X-a|<е)=2Ф(е/у).

Найдём вероятность того, что нормально распределённая СВ X отклонится от M(X)=a на у, 2у, 3у:

Отсюда следует правило Зу. если случайная величина X имеет нормальное распределение, то отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превышает утроенное среднее квадратическое отклонение (Зу).

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее