Дифференциальная функция распределения и ее свойства

СВ X непрерывна, если ее интегральная функция непрерывна на всей числовой оси. СВ X непрерывна и имеет дифференциальную функцию, если ее интегральная функция непрерывна и дифференцируема всюду, за исключением конечного числа точек на любом конечном промежутке.

Дифференциальной функцией (функцией плотности вероятности) СВ X называется производная ее функции распределения: f(x)=F'(x).

С помощью дифференциальной функции можно получить формулу вероятности попадания СВ X в заданный интервал:

Свойства дифференциальной функции:

). f(x)?0;

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

1) Математическое ожидание НСВ X определяется по формуле

М(Х)= ?xf(x)dx. (2.7.1)

Если НСВ X определена на интервале (а; b), то

М(Х)= ?xf(x)dx.

2) Мода НСВ X будет определяться как максимум ее дифференциальной функции: М_о(Х) = max f (x).

3) Медиана определяется как значение случайной величины, которое делит площадь под дифференциальной функцией на две равные части. M_e(X): P(x<M_e(X))=P(x>M_e(X))=1/2.

4). Дисперсия НВС

Все св-ва дисперсии и мат-го ожидания, установленные для ДСВ, сохраняется для НСВ.

Замечание. Если распределение симметрично, то его мода, медиана и математическое ожидание совпадают.

5). Моменты случайных величин.

Кроме характеристик положения и рассеяния существует ряд других числовых характеристик распределения, например, моменты.

Начальным моментом порядка s называется математическое ожидание степени s CB X: б_s=M(X^s).

Для ДСВ:

При s=l:б₁, = M(X) = m_x, то есть, первый начальный момент - это математическое ожидание СВ.

Отклонение СВ от ее математического ожидания называется центрированной СВ X: X = Х-m_х.

Центральным моментом порядка s СВ X называется математическое ожидание степени s, соответствующей центрированной СВ: м_s=м(X^s)=M((x-M(X))^s).

При вычислении центральных моментов пользуются формулами связи между центральными и начальными моментами:

м₁=0,

м₂=б₂-m²_x,

м₃=б₃-3m_xб₂+2m³_x,

м₄=б₄-4m_xб₃+6m²_xб₂-3m⁴_x.

Обычно рассматривают первые четыре центральных момента:

1). м₁=M(x-m_x)=0 - мат-ое ожидание центрированной СВ равно нулю;

2). м₂= M(x-m_x)²=D(X) - второй центральный момент - это дисперсия;

3). м₃= M(x-m_x)³- третий центральный момент может служить для характеристики асимметрии, обычно рассматривают безразмерный коэффициент асимметрии

Sk=м₃/у³.

4). Четвёртый центральный момент

м₄=M(x-m_x)⁴,

может служить для характеристики “крутости” или островершинности распределения, описывающиеся с помощью эксцесса:

E_x=(м₄/у⁴)-3.

Основным моментом порядка s называется нормированный центральный момент порядка s:

r_s= м_s/у^s, то есть Sk=r₃, Ex=r₄-3