Дифференциальная функция распределения и ее свойства
СВ X непрерывна, если ее интегральная функция непрерывна на всей числовой оси. СВ X непрерывна и имеет дифференциальную функцию, если ее интегральная функция непрерывна и дифференцируема всюду, за исключением конечного числа точек на любом конечном промежутке.
Дифференциальной функцией (функцией плотности вероятности) СВ X называется производная ее функции распределения: f(x)=F'(x).
С помощью дифференциальной функции можно получить формулу вероятности попадания СВ X в заданный интервал:
Свойства дифференциальной функции:
). f(x)?0;
Числовые характеристики непрерывных случайных величин

1) Математическое ожидание НСВ X определяется по формуле
М(Х)= ?xf(x)dx. (2.7.1)
Если НСВ X определена на интервале (а; b), то
М(Х)= ?xf(x)dx.
2) Мода НСВ X будет определяться как максимум ее дифференциальной функции: Мо(Х) = max f (x).
3) Медиана определяется как значение случайной величины, которое делит площадь под дифференциальной функцией на две равные части. Me(X): P(x<Me(X))=P(x>Me(X))=1/2.

4). Дисперсия НВС
Все св-ва дисперсии и мат-го ожидания, установленные для ДСВ, сохраняется для НСВ.
Замечание. Если распределение симметрично, то его мода, медиана и математическое ожидание совпадают.
5). Моменты случайных величин.
Кроме характеристик положения и рассеяния существует ряд других числовых характеристик распределения, например, моменты.
Начальным моментом порядка s называется математическое ожидание степени s CB X: бs=M(Xs).
Для ДСВ:


При s=l:б1, = M(X) = mx, то есть, первый начальный момент - это математическое ожидание СВ.
Отклонение СВ от ее математического ожидания называется центрированной СВ X: X = Х-mх.
Центральным моментом порядка s СВ X называется математическое ожидание степени s, соответствующей центрированной СВ: мs=м(Xs)=M((x-M(X))s).


При вычислении центральных моментов пользуются формулами связи между центральными и начальными моментами:
м1=0,
м2=б2-m2x,
м3=б3-3mxб2+2m3x,
м4=б4-4mxб3+6m2xб2-3m4x.
Обычно рассматривают первые четыре центральных момента:
1). м1=M(x-mx)=0 - мат-ое ожидание центрированной СВ равно нулю;
2). м2= M(x-mx)2=D(X) - второй центральный момент - это дисперсия;
3). м3= M(x-mx)3- третий центральный момент может служить для характеристики асимметрии, обычно рассматривают безразмерный коэффициент асимметрии
Sk=м3/у3.
4). Четвёртый центральный момент
м4=M(x-mx)4,
может служить для характеристики “крутости” или островершинности распределения, описывающиеся с помощью эксцесса:
Ex=(м4/у4)-3.
Основным моментом порядка s называется нормированный центральный момент порядка s:
rs= мs/уs, то есть Sk=r3, Ex=r4-3