Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Основы теории вероятности и математической статистики

Теоремы сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события

1. Теоремы сложения вероятностей Пусть даны два события Aи B требуется определить вероятность появления хотя бы одного из этих событий. Теорема 4. Если события A и B несовместные, то вероятность появления одного из этих событий (сумма) равна сумме вероятностей данных событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Следствия: Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, . Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице. Пример 4. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых шара. Наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется или красным или синим. Решение: События A и B несовместные Событие A -{извлеченный шар синий}; Событие B - {извлеченный шар красный}; . Теорема 5. Если события A и B совместные, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий (сумма) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Пример 6. Вероятность попадания в цель первого и второго стрелка соответственно равны 0,4 и 0,5. Найти вероятность попадания при одном выстреле хотя бы одного из стрелков (стрелки делают выстрел одновременно). Решение: Событие A - {1-й стрелок попал}; Событие B - {2-й стрелок попал}; . Замечание 1: При использовании этой формулы следует иметь в виду, что А и В могут быть зависимыми, так и независимыми. Для независимых событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В). Для зависимых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)РА(В). Замечание 2: Если А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и следовательно Р(АВ)=0 и Р(А+В)=Р(А)+Р(В) и следовательно вновь получили теорему о несовместных событиях. 2. Вероятность появления хотя бы одного события В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию. О.1 Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Пусть события попарно независимы и их вероятности известны и равны соответственно , тогда вероятности противоположных им событий будут равны . О.2 Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Пусть в результате испытания могут появиться n событий независимых в совокупности, причем вероятность каждого известна. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий. Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е. . Доказательство: Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий .

События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно сумма их вероятностей равна 1.

Частный случай: Если события имеют одинаковую вероятность р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Пример 7. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий 0,8; 0,7; 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Решение: Вероятность попадания в цель каждого из орудий не зависит от результата стрельбы из других орудий, поэтому рассмотрим событие А1 (попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия) и А3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Если , тогда - вероятности событий противоположным событиям А1, А2, А3 (т.е. вероятности промахов). q1 = 1- 0,8 = 0,2 q2= 1- 0,7 = 0,3 q3 = 1- 0,9 = 0,1

Искомая вероятность Р(А) = 1 - q1q2q3 Р(А) = 1 - 0,2*0,3*0,1 = 0,994

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее