Дисперсия ДСВ и её свойства. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратическое отклонение
Среднее квадратическое отклонение. О. 1. Дисперсией ДСВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х, т. е . Вероятностный смысл : дисперсия ДСВх характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания (в квадратных единицах). Свойства : Всегда ; Если , то ; ,где ; Дисперсия суммы и разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Формула для вычисления дисперсии: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:. О.2. Средним квадратическим отклонением (сигма) ДСВ называют квадратный корень из дисперсии: . Вероятностный смысл : среднее квадратическое отклонение ДСВ имеет тот же вероятностный смысл, что и дисперсия, с той лишь разницей, что измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Частные случаи: 1. Если ДСВ имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам: . 2. Если ДСВ имеет геометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам: . 3. Если ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:
  2 |
3 |
10 |
5 |
|
0,1 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
Пример 1. Пусть заданы два ряда распределения ДСВ и :
|
4 |
5 |
7 |
|
0,2 |
0,6 |
0,2 |
Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины . Решение:
;
;
;
;
;
;
.
Функция распределения вероятностей и её свойства
Т. к. способ задания случайных величин с помощью ряда распределения имеет место только для ДСВ, то естественно возникает вопрос: можно ли ввести общий способ задания для всех типов случайных величин? Пусть - случайная величина, а - некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее обозначается . Если изменяется, то изменяется и , т.е. есть функция зависящая от . О. 1. Функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) называется функция, определяющая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е. . Геометрически это означает, что есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, расположенной слева от точки . Свойства функции : 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е . 2. Функция неубывающая, т.е. , если . 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то: 1) при ; 2) при . 4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале: . 5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение , равна нулю, т.е. .График функции распределения вероятностей ДСВ представляет собой ступенчатую фигуру, а НСВ - непрерывную линию. Причем, если речь идет о ДСВ и ее возможные значения расположить в порядке возрастания , то может быть представлена в виде:
  1 |
4 |
8 |
|
0,3 |
0,1 |
0,6 |
Пример 1. ДСВ задана таблицей распределения: Найти функцию распределения и изобразить ее на графике. Решение:
Пример 2. НСВ задана своей функцией распределения:
Построить график функции F(x) и найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (1,3).
Решение: .
